1 FlexionMaestria

ESCUELA POLITECNICA NACIONAL
Maestría en Diseño, Producción y
Automatización Industrial

DISEÑO y
ELEMENTOS FINITOS

FLEXION DE VIGAS
Iván Zambrano Orejuela
Adolfo Costta
Marcelo Silva

Junio 2009

Maestría en Diseño, Producción y Automatización Industrial

OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ EN
UNA ESTRUCTURA RETICULADA PLANA

DEDUCCIÓN DE LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO
PARA UNA BARRA DE PÓRTICOPLANO EN
COORDENADAS LOCALES

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ANALISIS DE UNA VIGA A FLEXION
Se obtiene las fuerzas debido a la flexión en términos de sus
desplazamientos y sus giros usando la ecuación:

EIv IV = w( x)
Donde:
w = carga distribuida
(que en este caso es nula)
E = Módulo de elasticidad
I = Momento de inercia
v = deflexión
d fl ió

Se trata de un problemaestáticamente indeterminado

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ANALISIS DE UNA VIGA A FLEXION
De la teoría de la Mecánica de Sólidos conocemos:
v( x)

deflexión

dv( x)
= θ ( x)
d
dx

giro

d 2 v( x)
EI
= M ( x)
d 2x
d 3v( x) dM ( x)
EI
=
= V ( x)
d 3x
dx
d 4 v( x) dV ( x)
EI
=
= w( x)
d 4x
dx

momento por la curvatura de la viga

fuerza corte transversal

ecuacióndeflexión de la viga

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ANALISIS DE UNA VIGA A FLEXION
Asumiendo una carga w(x)=0 e integrando:

EIv IV = w( x) = 0
v IV = 0
Las dos ecuaciones adicionales se obtiene integrando y aplicando
condiciones de borde:

v III = C1
Una primera
U
i
condición
di ió es en x=0
0 donde
d d la
l carga de
d corte
t es Py1
y usando la relación

EIv III (0) =v = Py1

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ANALISIS DE UNA VIGA A FLEXION
v III =

Despejando:

v =
II

Integrando se tiene:

Py1
EI

Py1 x
EI

+ C2

Segunda condición de borde
borde, en x = 0 existe un momento

–M
M1

Py1 x

M1
v =
−
EI
EI
II

Integrando:

Py1 x 2

M1x
v =
−
+ C3
2 EI
EI
I

Py1 x 3

Volviendo a integrar:

M1x2
v=
−
+ C 3x + C 4
6 EI
2 EI

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ANALISIS DE UNA VIGA A FLEXION
Ahora usamos las condiciones de borde en x = 0 para obtener C3 y
C4 las cuales son:
vl (0) = θ
1

v(0) = v1

M 1 (0)
v (0) = θ1 =
−
+ C3
2 EI
EI
C 3 = θ1
I

Reemplazamos estas
condiciones, resolvemos
y encontramos C3 y C4

Py1 (0) 2

Py1 (0)3

M 1 (0)
( )2
v(0) = v1 =
−
+ θ1 (0) + C 4
6 EI
2 EI
C 4 = v1

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ANALISIS DE UNA VIGA A FLEXION
Ahora usamos las condiciones de borde en x = L para encontrar las
reacciones y los momentos:

v I ( L) = θ 2
v( L) = v2

R
Resolución
l ió d
dell sistemas
i t
d
de ecuaciones
i
((adición,
di ió sustracción
t
ió y sustitución):
tit ió )

v ( L) = θ 2 =
I

v ( L ) = v2 =

P

2
(
L
)
y1

2 EI

Py1 ( L ) 3
6 EI

M 1 (L)
−+ θ1
EI

M 1 ( L)2
−
+ θ1 ( L ) + v1
2 EI

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ANALISIS DE UNA VIGA A FLEXION
Las relaciones entre fuerzas y desplazamientos pueden expresarse en
forma matricial como:
⎛
⎜
⎧ Px 1 ⎫ ⎜
⎪
⎪
P1 = ⎨ Py 1 ⎬ = ⎜
⎜
⎪M ⎪ ⎜
⎩ 1⎭
⎜⎜
⎝

EA
L
0
0

⎛ EA
⎜− L
⎧ Px 2 ⎫ ⎜
⎪ ⎪
P2 = ⎨ Py 2 ⎬ = ⎜ 0
⎜
⎪M ⎪ ⎜
⎩ 2⎭
⎜⎜ 0
⎝

0
12 EI
L3
6EI
L2
0
−

12 EI
L3
6 EI
L2⎞
⎛
⎟
⎜−
⎟ ⎧ u1 ⎫ ⎜
6EI ⎟ ⎪ ⎪ ⎜
v +
2 ⎟ ⎨ 1 ⎬
⎜
L
⎪
⎪
⎟ θ
⎜
4EI ⎟ ⎩ 1 ⎭ ⎜
⎟
⎜
L ⎠
⎝
0

EA
L

12 EI
L3
6EI
− 2
L

0

0
12 EI
L3
6 EI
− 2
L

⎞
⎟
⎟ ⎧u2 ⎫
6EI ⎟ ⎪ ⎪
v
2 ⎟ ⎨ 2 ⎬
L
⎟ ⎩⎪ θ 2 ⎭⎪
2EI ⎟
⎟
L ⎠
0

−

0

⎞
⎛ EA
⎟
⎜ L
u
⎟⎧ 1⎫ ⎜
6 EI ⎟ ⎪ ⎪ ⎜
− 2 ⎨ v1 ⎬ + 0
L ⎟⎪ ⎪ ⎜
⎟ θ
⎜
2 EI ⎟ ⎩ 1 ⎭ ⎜
⎟
⎜ 0
L ⎠
⎝
0

0

⎞
⎟
⎟ ⎧u 2 ⎫
6 EI ⎪ ⎪
− 2 ⎟ ⎨ v2 ⎬
L ⎟⎪ ⎪
⎟ θ
4 EI ⎟ ⎩ 2 ⎭
⎟
L ⎠
0

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ANALISIS DE UNA VIGA A FLEXION
Estas ecuaciones pueden escribirse en forma compacta :

⎧ P1 ⎫ ⎛ K11
P=⎨ ⎬=⎜
⎩ P2 ⎭ ⎝ K 21

K12 ⎞ ⎧δ1 ⎫
⎟⎨ ⎬
K 22 ⎠ ⎩δ 2 ⎭

f = Kδ
Esta
E
t matriz
t i relaciona
l i
llas ffuerzas d
de extremo
t
d
de b
barra con
los desplazamientos nodales en ejes locales, donde:
f ' = vectores⋅ de ⋅ fuerza⋅ exteriores
δ ' = vectores⋅ de ⋅...