1_Integral por Partes 1

Integración por partes

VIII
INTEGRACIÓN POR PARTES

Supóngase que se tiene la función producto y = uv. Si se deriva con respecto de x se
obtiene:

dy
d
=
uv
dx
dx
dy
dv
du
=u
+v
dx
dx
dx
Multiplicando toda la igualdad por dx para eliminar denominadores:

dy = u dv + v du
Integrando en ambos miembros de la igualdad:

∫

dy = ∫ u dv +

∫

v du

De estas tres integrales, solamente de la primera sepuede definir su valor:

97

Integración por partes

y = ∫ u dv +

∫

v du

y como al principio se dijo que y = uv , sustituyendo se obtiene que

uv = ∫ u dv +

∫

v du

igualdad que vista en sentido contrario es lo mismo que

∫

u dv +

∫

v du = uv

y, finalmente, despejando la primera integral se llega a:

∫

u dv = uv − ∫ v du

La fórmula (27) es la fórmula de la integración por partes. A laintegral
la integral original y a la integral

∫

(27)

∫

u dv se le llama

v du se le llama la integral que resulta. Para su buena

utilización deben vigilarse las siguientes normas:
a)

La integral original debe convertirse en u dv , para lo cual debe hacerse u una parte de
la integral original y el resto hacerse dv . A lo anterior se le llama hacer la elección de
variables. No existe reglaalguna para establecer qué debe hacerse lo primero y qué lo
segundo. La práctica es la que guía por el camino más acertado.

b)

A partir de la elección de variables hecha en el inciso anterior, se calculan la diferencial
du y la variable v. Derivando u se obtiene du; integrando dv se obtiene v.

98

Integración por partes

c)

Las diferenciales deben ir en la misma igualdad.

d)

La integral queresulta debe ser más sencilla, o la mucho semejante, que la integral
original; de lo contrario, debe comenzarse el proceso eligiendo nuevas variables. Algunos criterios para decidir que la integral que resulta es más sencilla o complicada que
la original se irán estableciendo en ejemplos resueltos.

e)

El proceso de integración por partes puede emplearse dos o más veces dentro del mismo
proceso.

Apesar de que no existe una regla infalible, comprobada, universal, que lleve a hacer a la
primera vez una elección de variables adecuada, sí hay algunos criterios que funcionan en muchas
o en la mayoría de las ocasiones. Estos criterios son:
i)

Para integrales de la forma

∫ p ( x ) ln x dx
∫ p ( x ) arc sen x dx
∫ p ( x ) arc cos x dx
∫ p ( x ) arc tan x dx
en donde p (x) es un polinomio, serecomienda hacer u a la función trascendente,
mientras que dv = p (x).
ii) Para integrales de la forma

∫ p ( x ) e dx
∫ p ( x ) sen x dx
ax

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Integración por partes

∫ p ( x ) cos x dx
en donde p (x) es un polinomio, se recomienda hacer u = p (x), mientras que dv a la
función trigonométrica o exponencial.
iii) Se sugiere a veces apoyarse en el acrónimo1 o palabra clave L I A T E, iniciales deL ogarítmicas
I nversas trigonométricas
A lgebraicas
T rigonométricas
E xponenciales
según este criterio, debe seleccionarse como u la primera función que figure en LIATE
de izquierda a derecha y conforme al orden de esta palabra clave.
Conviene en este momento agregar al formulario de integrales la integral de e u , ya que esta
fórmula no puede encajarse en algún grupo especial. Dicha fórmula,que de aquí en adelante se
requerirá, es

∫
Ejemplo 1: Integrar
Solución:

1

∫

eu du = eu + c

(28)

x sen x dx

Esta integral por ninguno de los métodos estudiados hasta ahora puede resolverse. Conforme
al inciso (a) de la página 98, para convertir la integral original en u dv existen tres posibilidades para la elección de variables:

Acrónimo es el vocablo que se forma por la unión de elementoso iniciales de dos o más palabras, como
ovni (Objeto Volador No Identificado).

100

Integración por partes

Primera posibilidad:

Hacer

u=x
dv = sen x dx

Segunda posibilidad:

Hacer

u = sen x
dv = x dx

Tercera posibilidad:

Hacer

u = x sen x
dv = dx

En este ejemplo se estudiarán las tres posibilidades.
Posibilidad 1:

Haciendo

se obtiene que

u=x

du = dx

(derivando)

dv = sen x dx

v...