1 Límites, Continuidad Y Discontinuidad

Calculo Diferencial
4.1 Límites, continuidad y discontinuidad

1. CONTINUIDAD Una función es continua en un intervalo si se puede dibujar la gráfica en dicho intervalo de un solo trazo. Es una función polinómica y es continua en todo su dominio
2. DISCONTINUIDAD Una función es discontinua en un punto si la gráfica de la función se “rompe” en dicho punto. Es una función racional discontinuaen x = 0 Es discontinua en el conjunto de los números enteros
3. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO El límite de una función f(x) en x=a es el valor al que se aproxima la función f(x) cuando la variable independiente x se aproxima al valor x=a . Se representa por : Se lee “límite de f(x) cuando x tiende hacia a ”.

la continuidad de en x =2
f(2)= 4








Continuidad porla izquierda
Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto x = a si:



Continuidad por la derecha
Una función f(x) es continua por la derecha en el punto x = a si:



Una función f es continua en un punto si es continua por la izquierda y es continua por la derecha:



4.2 DERIVADA

La derivada de la función en el punto marcadoequivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangente a la curva está dibujada en rojo).
En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de larapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad dedicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20,por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.
El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretase geométricamente, ya que se corresponde con pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez lagráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.
La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El procesode encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo.








EJEMPLOS
Ejemplo #1
Sea la función , definida sobre el conjunto de los números reales (denotado por ). Para conocer sus variaciones se observa su derivada:

Para encontrar el signo de , se tiene que factorizar:lo anterior que se hace resolviendo una ecuación de segundo grado.
También se observa su segunda derivada:

Dado que y entonces tiene un máximo local en -1 y su valor es .
Dado que y entonces tiene un mínimo local en 4 y su valor es .
Nótese que la derivada es diferenciable en todo su dominio y hay exactamente 2 valores de tales que , los cuales son y , tomando en cuenta el...