1 Oviedo Matrices Sistemas

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Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones
1.1 Problemas PAU
Junio 94:
Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres,
mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de
niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de hombres.
a) Plantear un sistema para averiguarcuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión.
b) Resolver el problema.
Solución:
Apartado a:
Si llamamos x, y, z, al número de hombres, mujeres y niños, respectivamente, que fueron de
excursión, tendremos:
 x + y + z = 20
 x + y + z = 20


; ordenamos:  x + y − 3 z = 0
 x + y = 3z
y +1 = x
− x + y = −1


Apartado b:
Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz delos coeficientes M y la matriz
ampliada con los términos independientes Ma:
1 1 1 
 1 1 1 20 




Ma =  1 1 − 3 0 
M =  1 1 − 3
 −1 1 0 
 − 1 1 0 − 1




1

1

1

Como M = 1 1 − 3 = 8 ≠ 0 → r(M) = r(Ma) = 3 → S.C.D.
−1 1 0
Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer; para ello calculamos los valores de:
20 1 1
1 20 1
1 1 20
M x = 0 1 − 3 = 64 ;
M y = 1 0 − 3 = 56 ;
M z =1 1 0 = 40
−1 1 0
−1 −1 0
−1 1 −1
x=

Mx
M

=

64
=8 ;
8

y=

My
M

=

56
=7 ;
8

z=

Mz
M

=

40
=5
8

Luego, habrán asistido 8 hombres, 7 mujeres y 5 niños a la excursión.

Septiembre 94:
Cierto estudiante obtuvo, en un control que constaba de 3 preguntas, una calificación de 8 puntos.
En la segunda pregunta sacó dos puntos más que en la primera y un punto menos que en la tercera.
a) Plantearun sistema de ecuaciones para determinar la puntuación obtenida en cada una de las
preguntas.
b) Resolver el sistema.
Solución:
Apartado a:
Si llamamos x, y, z, a la puntuación obtenida en cada pregunta, respectivamente, tendremos:

2
x + y + z = 8
x + y + z = 8


, ordenamos: − x + y = 2
y = x + 2
 y = z −1
 y − z = −1


Apartado b:
Para estudiar la compatibilidad del sistema,escribimos la matriz de los coeficientes M y la matriz
ampliada con los términos independientes Ma:
1 1 1
1 1 1 8




M =  −1 1 0 
Ma =  − 1 1 0 2 
 0 1 − 1
 0 1 − 1 − 1




1 1 1
M = −1 1

0 = −3 ≠ 0 → r(M) = r(Ma) = 3 → S.C.D.

1 −1

0

Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer; para ello calculamos los valores de:
8 1 1
1 8 1
1 1 8
M x = 2 1 0 = −3 ;
M y = − 1 2 0 = −9 ;
Mz = − 1 1 2 = −12
−1 1 −1
0 −1 −1
0 1 −1
x=

Mx
M

=

−3
=1 ;
−3

y=

My
M

=

−9
=3 ;
−3

z=

Mz
M

=

− 12
=4
−3

Luego, habrá obtenido 1 punto en la primera pregunta, 3 en la segunda y 4 en la tercera.

Septiembre 94 (bis):
Sea la matriz A de coeficientes asociada a cierto sistema de ecuaciones lineales y B la matriz de sus
términos independientes:
a − 2 
 4

A = 
B =  
 a a − 1
4
a) Plantea algebraicamente el sistema indicando las operaciones hechas.
b) Discute su compatibilidad e interpreta los resultados obtenidos.
Solución:
Apartado a:
 a − 2   x   4
 ⋅   =  
El sistema expresado en forma matricial, será: 
 a a − 1  y   4 
Efectuando el producto de matrices, y aplicando la definición de igualdad de dos matrices,
ax − 2 y = 4
.
obtendremos elsistema pedido: 
ax + (a − 1) y = 4
Apartado b:
Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes M y la matriz
ampliada con los términos independientes Ma:
a − 2 
 a − 2 4


M = 
Ma = 
 a a − 1
 a a −1 4
Analizamos los valores críticos haciendo |M| = 0
a −2
M =
= 0 → a 2 + a = 0 → a(a + 1) = 0 → a1 = 0 ; a 2 = −1
a a −1
• Si a ≠ 0 y a ≠ −1|M| ≠ 0 → r(M) = r(Ma) = 2 → S.C.D. (solución única).

3
• Si a = 0

0 − 2
 0 − 2 4


Ma = 
M = 
 0 −1 
 0 −1 4
|M| = 0 → r(M) = 1 y r(Ma) = 2, puesto que es posible encontrar en la matriz Ma un menor
−2 4
. Por tanto, S.I. (No soluciones).
complementario de orden 2 y distinto de cero; por ejemplo:
−1 4
• Si a = −1
 −1 − 2
 −1 − 2 4


Ma = 
M = 
 −1 − 2
 −1 − 2 4...