1 PARCIAL 2014 AYGA

U.T.N. F.R.B.A.
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA – 1º PARCIAL
CURSO K-1046 - 2014
APELLIDO: __________________ _______ NOMBRE: ________________________________
Recuerde colocar su nombre yapellido en todas las hojas que entrega. Numérelas.
Para aprobar el examen debe tener bien resueltos al menos tres ejercicios.
Por favor escriba prolijo y justifique todas susrespuestas.
1) De todos los planos que pertenecen al haz determinado por los planos
𝜋 : 𝑥 + 2𝑦 = 4
{ 1
𝜋2 : 𝑧 = 0
a) Halle la ecuación de aquellos cuya distancia al origen es igual a 1.
b)Obtenga la ecuación vectorial paramétrica de la recta intersección de los planos dados y grafique
dichos planos en un mismo sistema de ejes cartesianos.
2) Dados los vectores de ℝ3 : 𝑣⃗ =(1,0,2), 𝑤
⃗⃗⃗ = (−2,1,0), 𝑢
⃗⃗ = (3, 𝑘, 2)
a) Halle todos los 𝑘 ∈ ℝ tales que los tres vectores sean coplanares.
b) Para 𝑘 = 2 obtenga la proyección ortogonal del punto terminal del vector𝑤
⃗⃗⃗ sobre el plano 𝜋
generado por los vectores 𝑣⃗ y 𝑢
⃗⃗ y que contiene al origen.
3) Sean los subespacios W1 = gen { (1,0,1,0) ; (0,0,1,1) ; (1,0,-2,-3)} y
𝑊2 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑢) ∈ ℝ4 /𝑦 =𝑢, 𝑥 = 2𝑢, 𝑧 = −𝑢}.
a) Obtenga una base y la dimensión del subespacio W2
b) Halle el subespacio generado por el conjunto de vectores formado por la unión de una base de W1
y de una base deW2 (expréselo mediante ecuaciones).
4) a) Demuestre que:
 ARnxn ,  BRnxn, R: A y B son simétricas y conmutables  (.A).B es simétrica
b) Halle tres matrices de ℝ2𝑥2 , distintas dela Identidad y de la matriz nula, que sean idempotentes.
¿Cuánto vale el determinante de cada una de ellas? (Nota A es idempotente si 𝐴2 = 𝐴).
5) Considere el conjunto 𝐵 = {𝑥 2 ; 𝑥 + 1;−𝑥 + 1} base del espacio vectorial ℙ2.
Calcule las coordenadas de los polinomios de la base canónica de ℙ2 respecto de la base B.
(Nota: Base canónica de ℙ2 𝐸 = {1, 𝑥, 𝑥 2 })...