1 Races Ecuaciones

Solución de Ecuaciones
(Raíces de Ecuaciones)
ax 2 + bx + c = 0
x1, 2 =

− b ± b 2 − 4ac
2a

CASO GENERAL:
f (α) = 0

y

f(α)

y

f(α)

y

f(α)

α
x
1 Raíz

x
Múltiples Raíces

Ninguna

METODO DESUCESIVAS SUSTITUCIONES
f (α) = 0 ⇒ x = F (α)

y

F(α)

f(α)

α

x

x

y
y=x
F(x)

F(x2 )

x4 x3

F(x1)

x2

x1

x

x1, x 2, x 3, x 4 è sucesión convergente a α con el ALGORITMO x1 = F (x 1-1)

Pero nosiempre converge.

y
en la línea Roja se aleja
cada vez mas de la raíz.

x4 x2 α x1 x3

x

Condición de Convergencia
y
y= α

F′( x2) = 0
F (α)
X2 < α

x2

x1

α

y

F(α)
y=α
F’(α) = -1
|F’(α)| = 1α
Como condición de convergencia F′(x)x=α < 1

Esta condición establece además la “velocidad” de convergencia, dada por el
número de iteraciones necesarias para obtener la raíz ya que si
F′(x)x=α <1 la convergencia es mas rápida.

En consecuencia para el método de “iteraciones sucesivas” es muy importante la
formación de la Función F (α) en la ecuación x= F (α) en la ecuación x= F(x); de
lasmúltiples opciones que pueden existir.

Método de la Tangente o de Newton
Es otro método que aproxima el valor de una raíz de una ecuación.
El método consiste en empezar con un x1, valor de x1 (cercanoa la raíz) y trazar la
tangente en el punto (x1, f(x 1)) para obtener la aproximación, o valor de x siguiente,
en la intersección de la tangente trazada con el eje x.
y
f(x)
(x 1 , f(x 1 ))

tg a f(x) en (x 2 ,f(x 2 ))
Tangente a f(x) en
(x 1 , f (x 1 ))
α
x3 x2

x2

x1

x

Y luego continuar con el mismo procedimiento para obtener la serie de valores x2, x 3
.....que tienden a α.
Desarrolloanalítico
y
f (α)
B

f (α1)

C
x2

θ

A
x1

α

∆

Consideremos al triángulo ABC donde tg θ =
Pero tg θ= (

AB f ( x1 )
=
BC x1 − x 2

df ( x )
f ( x1 )
) x = x1 = f ' ( x1 ) =
dx
x1 − x 2

De donde x2 = x1−

f ( x1 )
f ' ( x1 )

Similarmente x3 = x2 −
O en general

f ( x2 )
f ' ( x2 )

xk = xk −1 −

f ( xk −1 )
f ' ( xk −1 )

Que representa el algoritmo iterativo que provee los xk , que convergen...