1 Vector Aleatorio De Dimensión N

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIA
DEPARTAMENTO MATEMÁTICA Y CIENCIA DE LA COMPUTACIÓN

Prof. Alma Placencia
Prof. Rosa Montaño

1)

Definición de Vector Aleatorio de dimensión n, ovariable aleatoria n dimensional.
Def: Se dice que (X1, X2, X3,…, Xn) es una variable aleatoria de dimensión n, si X1,
X2,… Xn, son n variables aleatorias, tal que:
• f(x1, x2, x3,…, xn) es lafunción de densidad conjunta, si Xi son v.a.c.
• p(x1, x2, x3,…, xn) es la función de cuantía conjunta, si Xi son v.a.d.
• f(xi) es la función de densidad marginal de Xi .
• p(xi) es la función de cuantíamarginal de Xi .

2)

Definición de Independencia de n variables aleatorias.
Def: Se dice que (X1, X2, X3,…, Xn) son n variables aleatorias independientes, si y sólo
si se cumple:
f(x1 ,x2, …, xn) = f (x1 )· f ( x2 )... f ( x n ) =

n

π f (xi ) para toda x1 ,x2, …, xn

i =1

n

p(x1 ,x2, …, xn) =

π p( xi ) , para toda

i =1

x1 ,x2, …, xn

Consecuencias: Si (X1, X2, …, Xn) son n variablesaleatorias independientes, se
cumple:
n

• E[X1+ X2+ …+ Xn] = E [X 1 ] + E[ X 2 ] + ... + E [X n ] = ∑ E [X i ]
i =1
n

• V[X1+ X2+ …+ Xn] = V [X 1 ] + V [ X 2 ] + ... + V [ X n ] = ∑ V [ X i ]
i =1

ya queCov [Xi; Xj] = 0 , ∀ xi ≠ xj , en v.a. indep.
• Si Xi ~ N µ i ;σ i2 ; i = 1, 2, entonces:

(

)

(
)
~ N (µ1 − µ 2 ; σ 12 + σ 22 )

X1 + X2 ~ N µ1 + µ 2 ;σ 12 + σ 22
X1 - X2

Etc.

3)

Definición demuestra aleatoria de Tamaño n (m.a.(n))
Def. Se dice que (X1, X2, …, Xn) es una m.a (n) de una población distribuida según X,
si (X1, X2, …, Xn) son n v.a. independientes y tienen la misma distribuciónde
probabilidad.

4)

( )

Distribución de probabilidad Ji-cuadrado o Chi-cuadrado χ n2
Def: Sean (X1, X2, …, Xn), n v.a. independientes distribuidas N(0,1), entonces:

X 12 + X 22 + ... + X n2 ~ χn2 (Ji-cuadrado con n grados de libertad)
Def: Sea (X1, X2, …, Xn) n v.a. independientes, tal que Xi ~ N(µ; σ2), i = 1,2,…,n,
2

X −µ
2
 ~ χ n (Ji-cuadrado con n.g.l.)
∑ i
σ 
i =1 
n...