1 L Gica

Mett ®

Cap´ıtulo 1
Introducci´
on a la l´
ogica
matem´
atica y a la teor´ıa de
conjuntos
1.1.

Introducci´
on

En el ´algebra actual tiene importancia y muy especialmente en el c´alculo
que se efect´
ua con procesadores electr´onicos, el an´alisis del lenguaje desde
un punto de vista l´ogico. Las expresiones de este lenguaje pueden tomar
formas complicadas, pero el an´alisis de sus partes ofrecela alternativa de
desentra˜
nar la esencia de la l´ogica de las formas expresivas m´as complejas.
En estas notas, que no pretenden ser m´as que una introducci´on, no tendr´ıa sentido extenderse en la consideraci´on de los problemas de la l´ogica
matem´atica sobre los cuales el lector interesado podr´a consultar obras de
buen nivel indicadas en la bibliograf´ıa.
Aqu´ı nos interesaremos en un tipoespecial de proposiciones como por ejemplo 5 es un n´
umero, los caballos son negros, x2 es siempre positivo para
todo real x, . . . notemos que a estas expresiones se les puede asignar un
valor, seg´
un sean verdaderas o falsas. Quedar´an exclu´ıdas de nuestra con1

Mett ®

Luis Zegarra A.

Introducci´on a la l´ogica matem´atica y a la teor´ıa de conjuntos 2

sideraci´on, expresiones tales como:Abre la ventana, Estudia con dedicaci´
on,
...

1.2.

Elementos de l´
ogica

Proposici´
on. Una proposici´on es una expresi´on de la cual se puede decir
siempre si es verdadera o es falsa (V o F).
Por tanto, se dice que las proposiciones son bivalentes, conviene observar que
no compete a la l´ogica establecer el valor de verdad de las proposiciones, es
decir, se considerar´an las proposicionessimples con su valor ya asignado.

Notaci´
on. Por costumbre a las proposiciones las denotaremos mediante
las letras: p, q, r, . . .

Convenci´
on. Si convenimos en considerar el conjunto U de todas las posibles proposiciones del lenguaje como conjunto universo, si p pertenece a U ,
se denotan por p ∈ U .

Conectivos o s´ımbolos. Ocuparemos los siguientes s´ımbolos, llamados
tambi´en conectivosl´ogicos
∼
∧
∨
⇒
⇔
∨

:
:
:
:
:
:

Negaci´on
Conjunci´on
Disyunci´on
Implicaci´on
Doble implicaci´on
Disyunci´on excluyente

Antes de definirlos rigurosamente, es conveniente que el lector considere los
siguientes comentarios.

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Luis Zegarra A.

Introducci´on a la l´ogica matem´atica y a la teor´ıa de conjuntos 3

La relaci´on que establece la conjunci´on “y”simb´olicamente por “∧.entre dosproposiciones en el lenguaje com´
un es perfectamente clara, es decir, no da
lugar a ninguna ambiguedad.
Por ejemplo, consideramos las proposiciones el 5 es un n´
umero (p), el caballo
es un animal (q), al decir el 5 es un n´
umero y el caballo es un animal (decimos
las dos cosas), esta relaci´on se simboliza en l´ogica: p ∧ q.
La relaci´on ∧ permite definir una operaci´on algebraica entreproposiciones,
en rigor
p ∈ U y q ∈ U es (p ∧ q) ∈ U.
En cambio, la relaci´on establecida entre dos proposiciones por la disyunci´on
o, ya no es tan clara. En efecto, si analizamos un poco veremos que, en el
lenguaje corriente no tiene significado preciso y u
´nico.
Por ejemplo, si consideramos el s´abado ir´e al cine o al estadio, para cualquiera
resulta claro que si voy a un lugar no ir´e al otro, esdecir, que una de las
acciones que realizar´e excluye la otra.
Si en cambio se dice, regalar´e los zapatos viejos o los zapatos negros, se
entiende que los zapatos que regalar´e son los viejos y tambi´en los negros
(aunque no sean viejos). El o no es en este caso excluyente.
Si en ambos casos se comprende lo que se quiere decir, es por el sentido
general de la frase, pero desde el punto de vistal´ogico s´ı nos preocupamos
exclusivamente en su valor de verdad o falsedad es claro que hay dos interpretaciones diferentes para la relaci´on establecida entre proposiciones por
o.
En forma simb´olica, entonces, consideramos ∨ para el o excluyente y ∨ para
el o inclusivo.
Dada una proposici´on p, simbolizamos mediante ∼ p la negaci´on de esta
proposici´on.
Por ejemplo, si p es: el 6 es un n´
umero...