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CALCULO

CAPITULO

N O.

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1.6.- CLASIFICACION Y OPERACIONES DE FUNCIONES

OBJETIVO.- Conocer y manejar las operaciones definidas entre funciones así
como conocer la clasificación de éstas y sus características.

1.6.1.- Operaciones entre Funciones.
Aparte de las operaciones algebraicas ya conocidas, como la suma y la multiplicación, que
también se pueden realizar entre funciones, para estastenemos una operación que es privativa de
ellas y que es conocida como Composición de Funciones cuyo resultado es otra función que, por
como se le da origen, se le llama Función Compuesta o Función Composición, que definiremos
en el siguiente artículo.
1.6.1.1.- Definición de Composición de Funciones.
La Composición de Funciones, es una operación definida entre dos funciones y que da como
resultadootra función, por lo que se dice que es una Operación Binaria, que es cerrada por
naturaleza, y se define en los siguientes términos:
Sean dos funciones f(x) y g(x) definidas en los reales, es decir.
f: R → R
g: R → R
La composición de f con g, indicada como:
f°g
se define como la función que se obtiene al valuar la función f con la función g, es decir:
f[g(x)]
Esto significa sustituir en lavariable independiente “ x ” de función f(x) la función g(x).

Ejemplo:
Dadas las funciones:
2

f ( x) := x − 6x + 10
g ( x) := 4e

M. C.

J.

AGUSTÍN

y

− 2x

FLORES

AVILA

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N O.

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Obtenga las siguientes Composiciones:
f°g
g° f
Como ya indicamos, en el primer caso la composición se obtiene valuando –metiendo- la función
g(x) en la función f(x), por lo tanto:

(

h ( x) := 4e− 2x

)2 − 6(4e− 2x) + 10

En la que al hacer operaciones nos queda dada por:
h ( x) := 16e

− 4x

− 24e

− 2x

+ 10

En el segundo caso la composición se obtiene valuando la función f(x) en la función g(x), por lo
tanto:
h ( x) := 4e

(

2

)

− 2 x − 6x+ 10

En la que al hacer operaciones nos queda dada por:
h ( x) := 4e

( − 2x2+12x−20)

Ejemplo No. 2.Encuentre las dos composiciones entre f yg dadas por:
2

f ( x) := 3x − 2x + 1

y

g ( x) :=

8
x− 2

Como ya señalamos se lee: “ f valuado en g ”.

f ⋅ g := 3 

2

 − 2 8  + 1

x
−
2


 x− 2

g ⋅ f :=

8

(3x

2

8

)

− 2x + 1 − 2

8
2

3x − 2x − 1

M. C.

J.

AGUSTÍN

FLORES

AVILA

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CALCULO

CAPITULO

N O.

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1.6.1.2.-Condición de Existencia.
No obstante que como operación bien definida siempre es posible realizar unacomposición,
independientemente de las funciones f y g involucradas, el resultado de tal operación esta
limitado a la existencia de la función resultante a partir de las condiciones que le hemos impuesto
a las funciones como tales. Es decir, debe estar bien definida la relación establecida entre los
conjuntos dominio y contradominio para que la función composición pueda existir.
Ejercicios:Obtengas todos los pares de composiciones con las siguientes funciones y dé el dominio de la
función resultante.
f(x) = 6xSen(4x-2)
g(x) = 4x3-2x2 +5x-1
h(x) = 6Ln(3x-9)
De un ejemplo en el que una composición NO se pueda realizar. Esto significa que la función
resultante NO existe en R.
1.6.1.3.- Inversa de una función:
La Inversión de una Función es otra operación definida para las funciones pero eneste caso se
aplica solamente sobre una función. En este sentido se dice que es una operación Unaria –
definida sobre un solo elemento- y se define en los siguientes y términos:
Sea f(x) una función definida en R, la que, al establecer una relación de correspondencia entre
DOS conjuntos, se acostumbra indicar como:
y = f(x)
La función inversa de esta función, indicada como:
f(x)-1
Se obtieneDESPEJANDO la variable independiente “ x ” y obteniendo otra función dada por:
x = f(y)
en la que se invierten los papeles de las variables. La variable independiente “ x ” original pasa a
ser ahora la variable dependiente en la función inversa. Sin embargo, para efectos de notación se
acostumbra expresar la función invertida en función de la “ x “ original.
Ejemplo:Obtenga la función inversa de:
f(x)...