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PROBLEMA 2

Ejercicio 1
fx, y  x 3  3xy 2  y 2
2
a) Graficando
fx, y  x 3  3xy 2  y 2

b) Grafica con trazados de curvas de nivel
fx, y  x 3  3xy 2  y 2

c) Calculando lasprimeras derivadas

1

fx, y  x 3  3xy 2  y 2
f x x, y  3x 2  3y 2
f y x, y  6xy  2y
Encontrando puntos críticos por el criterio de la primera derivada:
f x x, y  0
f y x, y  0

3x2  3y 2  0
 6xy  2y  0
Los puntos críticos son
A
x  0, y  0
B
x  13 , y  13
C
x  13 , y   13
d) Calculando las segundas derivadas
f x x, y  3x 2  3y 2
f xx  6x
f y x, y 6xy  2y
f yy  6x  2
f xy  6y
Encontrando el discriminante "b"
b  f xx f yy  f 2xy
b  6x6x  2  6y 2
b  36x 2  18x  36y 2
e) Encontrando Máximos y Mínimos
(x,y)

f xx f yy f xyb

val. 1 era derivada CONCLUSIÓN

(0,0)

0

2

0

0

(1/3,1/3)

2

0

-2 -2 0.04

Punto de Silla

(1/3,-1/3) 2

4

2

Mínimo Local

0
4

0.04

Mínimo Local

Ejercicio 2
fx, y  2x 4  y 4  2x2  2y 2  3
a) Graficando
fx, y  2x 4  y 4  2x 2  2y 2  3
2

b) Grafica con trazados de curvas de nivel
fx, y  2x 4  y 4  2x 2  2y 2  3

c) Calculando las primeras derivadas
fx,y  2x 4  y 4  2x 2  2y 2  3
f x x, y  8x 3  4x
f y x, y  4y3  4y
f xy  0
Encontrando puntos críticos por el criterio de la primera derivada:
f x x, y  0
f y x, y  0

3

8x3  4x
4y3  4y
Los puntos críticos son:
A
x  0, y  0
B
x  0. 707 11, y  0. 0
C
x  0. 707 11, y  0. 0
d) Calculando las segundas derivadas
f x x, y  8x 3  4x
f xx  24x 2  4
fyy  4y3  4y
f yy  12y 2  4
f xy  0
Encontrando el discriminante "b"
b  f xx f yy  f 2xy
b  12y 2  424x 2  4  0
b  288x 2 y 2  48y 2  96x 2  16
e) Encontrando Máximos y Mínimos(x,y)

f xx f yy f xy b

val. 1 era derivada CONCLUSIÓN

(0,0)

-4 -4 0

16 3

Mínimo Local

(-0.707 1,0)

8

2

0

16 2.5

Mínimo Local

(0.707 11,0) 8

2

0

16 2.5

Mínimo Local

4...