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Universidad Tecnológica de Chile
SEDE CALAMA

Límite de una Función,
Definición y Teoremas
APUNTES Y EJERCICIOS

Guía de Apuntes y Ejercicios
LÍM ITE DE FUNC IONE S
El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo
infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es
el valor al que tiende una función cuando la variableindependiente tiende a un
número determinado o al infinito.
Definición de Vecindad: Sea un punto
en el eje . Una vecindad de
es el
conjunto de puntos del eje
que satisfacen la desigualdad:
,
donde a
se le conoce como la semiamplitud o radio de la vecindad. A esta
vecindad se le acostumbra denotar como
. Cabe hacer notar, como lo indica
la desigualdad antes señalada, que una vecindad es un intervalo abierto.Gráficamente, esto puede expresarse como sigue:

Se puede escribir en términos de valor absoluto como:

Si a la desigualdad anterior se le añade la condición adicional de que el valor
absoluto sea estrictamente mayor que cero, se tiene:
Se excluye a
de su propio entorno o vecindad, llamándole entonces a éste o ésta,
“entorno reducido” o “vecindad agujerada”.
Ejemplo: Sea una función en la que lavariable
independiente tiende a un valor finito. Sea la
función

definida en el intervalo

y supóngase que se desea conocer el
límite de la función cuando la variable tiende
al valor
. La gráfica de la función en el
intervalo considerado se tiene en la siguiente
figura, en la cual se observa que cuando la
variable se aproxima al valor , la variable "
se aproxima al valor
. A continuación seanalizará esta situación con más detenimiento,
tomado como base la gráfica considerada.

Límite de una Función, Definición y Teoremas

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Definición de límite: Antes de establecer la definición formal del límite de una
función en general vamos a observar qué sucede con una función particular cuando
la variable independiente tiende (se aproxima) a un valordeterminado.
Ejemplo: Sea la función definida por:
En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x, en
el entorno de 2, y calculamos los valores correspondientes de la función
:

x
1.9
1.99
1.999
1.9999
2.0001
2.001
2.01
2.1

f (x)
2.61
2.9601
2.996001
2.99960001
3.00040001
3.004001
3.0401
3.41

Cuando x se aproxima a 2, tanto por la izquierda
como por la derecha, tomandovalores menores o
mayores que 2, f (x) se aproxima, tiende, cada vez
más a 3; y cuanto más cerca está x de 2, o lo que es
lo mismo, cuando la diferencia en valor absoluto entre
x y 2 es más pequeña asimismo la diferencia, en
valor absoluto, entre f (x) y 3 se hace cada vez más
pequeña. (Estas diferencias se muestran en la tabla
inferior). O sea, la función se acerca a un valor
constante, 3, cuando lavariable independiente se
aproxima también a un valor constante.

|x - 2|
|1.9-2| = 0.1
|1.99-2| = 0.01
|1.999-2| = 0.001
|1.9999-2| = 0.0001
|2.0001-2| = 0.0001
|2.001-2| = 0.001
|2.01-2| = 0.01
|2.1-2| = 0.1

| f (x) - 3|
|2.61-3| = 0.39
|2.9601-3| = 0.0399
|2.996001-3| = 0.003999
|2.99960001-3|
0.00039999
|3.00040001-3|
0.00040001
|3.004001-3| = 0.004001
|3.0401-3| = 0.0401
|3.41-3| = 0.41

=
=De lo anterior se deduce intuitivamente que el límite de la función f (x) cuando x
tiende a 2, es 3.
Ahora, pasamos a dar la definición formal de límite:

Límite de una Función, Definición y Teoremas

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Definición épsilon-delta: Sea f una función definida en algún intervalo abierto que
contenga a a. El límite de f (x) cuando x tiende a a es L, y se escribe:
,si el siguiente enunciado es verdadero:

Ejercicio resuelto (aplicando la definición epsilón-delta): En los ejercicios 1 a
4, demuestre que el límite es el número indicado aplicando la definición Epsilóndelta:
1.
Solución: Puesto de
está definido para cualquier númer real, cualquier
intervalo abierto que contenga a 4 cumplirá el primer requisito de la definición
Epsilón-delta. Ahora, se debe...