1

VECTORES: OPERACIONES BÁSICAS

Hallar gráfica y analíticamente
la resultante de

 los siguientes desplazamientos: A (10 m
hacia el Noroeste), B (20 m Este 30º Norte) y C (35 m Sur)

Solución: I.T.I. 94, I.T.T. 05
La representación gráfica de los desplazamientos viene dada en la figura. La magnitud
del desplazamiento final y su orientación será:

 
D = D⋅D =













(A + B + C)⋅(A+ B + C) =

= A 2 + B 2 + C 2 + 2AB cos105º +2AC cos135º +2BC cos120º =
 
D ⋅ C = D C cosθ
 
   
D ⋅C = A + B + C ⋅C =

(
)
= ( AC cos135º +BC cos120º +C )
2

⇒

€


B

⎫
⎪
⎪⎪
⎬
⎪
⎪
⎪⎭

 
⎧
⎛ D ⋅ C ⎞
=
⎪ θ = arccos ⎜
⎝ D C ⎟⎠
⎪
⎨
⎪ = arccos ⎛ A cos135º +B cos120º +C ⎞ =
⎜⎝
⎟⎠
⎪⎩
D

20.65 m

30º


A


D


C

θ

29.8º

   
D= A+ B+C

Un automóvilrecorre 3 km hacia el Norte y luego 5 km hacia el Norte 40º Este, representar
estos desplazamientos y hallar el desplazamiento resultante gráfica y analíticamente.
Solución: I.T.I. 04, I.T.T. 04


d2

La representación gráfica de los desplazamientos viene dada en
la figura. La magnitud del desplazamiento final y su orientación
será:
 
d = d ⋅d =









(d + d ) ⋅ (d + d ) =
1

2

1

2

= d12 +d22 + 2d1d2 cos 40º =

 
d ⋅ d1 = d d1 cosθ

⎫
⎪
⎪⎪
 
  
⎬
d ⋅ d1 = d1 + d2 ⋅ d1 =
⎪
⎪
2
= d1 + d1d2 cos 40º ⎪⎭

(
(

40º

)

)

⇒


d1

7.55 km

θ

 
⎧
⎛ d ⋅ d1 ⎞
θ
=
arccos
⎪
⎜⎝ d d ⎟⎠ =
⎪
1
⎨
⎪ = arccos ⎛ d1 + d2 cos 40º ⎞ =
25.2º
⎜⎝
⎟⎠
⎪⎩
d



Hallar el ángulo formado por los vectores A = 2 ˆi + 2 ˆj − kˆ y B = 6 iˆ − 3 ˆj + 2kˆ .
Solución: I.T.I. 94,I.T.T. 05
El ángulo lo obtenemos a partir del producto escalar:
 
A ⋅ B = A B cosθ

⇒

 
⎛ A ⋅ B ⎞
θ = arccos ⎜
=
⎝ A B ⎟⎠

79.0º

  
d = d1 + d2



Dados los vectores: a = (1, 1, 2 ) y b = (1, 3, 4 ) . Calcular: a) el producto escalar de ambos


vectores, b) el ángulo que forman, c) la proyección de b sobre a .

Solución: I.T.I. 04

 
a) El producto escalar será: a ⋅ b = 1⋅1 +1⋅ 3 + 2 ⋅ 4 = 12
b) El ángulo que forman entre sí será:
 
a ⋅ b = a b cosθ

⇒

 
⎛ a ⋅ b ⎞
θ = arccos ⎜
=
⎝ a b ⎟⎠



c) La proyección del vector b sobre el vector a será:
 
a ⋅b
d = b cosθ =
= 2 6 unid. de long.
a

16.1º


b
θ
d


a

Entre los cosenos directores de un vector unitario existen las siguientes relaciones:
cosα 2
cos β 3
=
,
= . Calcular el producto escalar y vectorialde este vector con el que
cos β 3
cos γ 4
tiene por componentes:

29 (1,1,1) . ¿Qué ángulo forman entre sí ambos vectores?

Solución: I.T.I. 92, I.T.T. 95, 04, I.I. 94
El valor de los cosenos directores lo podemos obtener a partir de las dos ecuaciones del
enunciado y de la relación entre los tres cosenos:

cos α 2
=
cos β 3

⎫
⎪
⎪
cos β 3
⎪
=
⎬
cos γ 4
⎪
⎪
2
2
2
cos α + cos β + cos γ = 1⎪
⎭

⇒

⎧
⎪ cos α = ±
⎪
⎪
⎨ cos β = ±
⎪
⎪
⎪ cos γ = ±
⎩

2
29
3
29
4
29

3 ˆ
4
⎛ 2 ˆ
i+
j+
Nuestro vector unitario será por lo tanto: uˆ = ± ⎜
⎝ 29
29
29

⎞
kˆ ⎟
⎠

Los productos escalar y vectorial de este vector unitario por el vector del enunciado
serán:

3
4

⎛ 2
⎞
uˆ ⋅ v = ± ⎜
⋅ 29 +
⋅ 29 +
⋅ 29 ⎟ =
⎝ 29
⎠
29
29


uˆ × v = ±

iˆ

ˆj

kˆ

2
29

3
29

4
=
29

29

29

29

(±9

± −iˆ + 2 ˆj − kˆ

)

El ángulo que forman entre sí los dos vectores será:


uˆ ⋅ v = v cosθ

⇒


⎛ uˆ ⋅ v ⎞
θ = arccos ⎜
=
⎝ v ⎟⎠

15.2º ó 167.8º

1
2
Demostrar que el vector unitario uˆ , cuyos cosenos directores son: cos α = , cos β = y
3
3

cos γ > 0 , es perpendicular al vector b = ( 6, − 9, 6 ) .

Solución: I.T.I. 04, I.T.T. 05
El valor del tercer coseno director lo podemossacar a partir de la relación entre los tres
cosenos:
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

⇒

cos γ = 1 − cos 2 α − cos 2 β =

2
3


realizando el producto vectorial entre uˆ y b :
 1
2
2
uˆ ⋅ b = ⋅ 6 + ⋅ ( −9 ) + ⋅ 6 = 0
3
3
3

lo cual demuestra que son perpendiculares.

 
La suma de dos vectores a y b es un vector cuyo
módulo es 24 y sus cosenos directores son


(1/3, –2/3, 2/3). Sabemos...