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Ecuación diferencial exacta

Una ecuación diferencial exacta es aquella que se puede representar como una
difencial total.
z = f (x, y) = c =⇒ dz =

∂f
∂f
dx +
dy = 0
∂x
∂y

un ejemplo de ecuacióndiferencial exacta puede ser
2xydx + x2 − 1 dy = 0
En general cualquier ecuación de la forma
M (x, y) dx + N (x, y) dx = 0
es una ecuación diferencial exacta si se cumple la siguiente condición quegarantiza que es la representación de la diferencial total de alguna función
∂M
∂N
=
∂y
∂x
Teorema (Clairaut-Schwartz). Sea f : Ω ⊆ R2 → R y además se cumple que
f ∈ C 2 (Ω) se cumple que
∂2f
∂2f
=∂x∂y
∂y∂x
Gracias a este teorema podemos obtener un algoritmo para resolver cualquier
ecuación diferencial exacta.
Ejemplo 1. Resolver la siguiente ecuación diferencial exacta
2xydx + x2 − 1 dy = 0Observamos que M (x, y) = 2xy , además N (x, y) = x2 − 1, por lo que
debemos verificar la condición
∂N
∂M
=
= 2x
∂y
∂x
esto quiere decir que existe un f que cumple
∂f
= M (x, y)
∂x

∂f
=N (x, y)
∂y

1consideremos
∂f
∂x

=

f

=

f

=

M (x, y)
ˆ
2xydx + g (y)
ˆ
2y xdx + g (y)

f

=

x2 y + g (y)

derivarmos parcialmente en y
∂f
∂y
2
x −1

=

x2 + g (y)

=

x2 + g (y)
−1
−y

g (y) =
g (y) =
finalmente sededuce que
x2 y − y = 0

es la solución a la ecuación diferencial exacta, esto lo podemos verificar mediante
d x2 y − y
yd x

2

=

0

2

=

0

2

=

0

+ x dy − dy

2xydx + x − 1 dy

Example 2.Resolver e2y − y cos xy dx + 2xe2y − x cos xy + 2y dy = 0
∂M
dy
∂N
dx

=

2e2y − y cos (xy) x − cos (xy)

=

2e2y − y cos (xy) x − cos (xy)

por lo que es una ecuación diferencial exacta

1.1

FactorIntegrante

Ocurre que no siempre se cumple que condición de ecuación diferencial exacta,
por lo que hay que construir la ecuación. Para construir la condición de exactitud
se debe encontrar y multiplicaruna función que hace que se cumpla la exactitud,
dicha función se llama factor integrante.
Definición 3 (Factor integrante). Si la ecuación diferencial M (x, y) dx+N (x, y) dy =
0 no es una...