1

2
LIMITES
En matemática, el concepto de límite es una noción
topológica que formaliza la noción intuitiva de
aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o
una función, a medida que los parámetros de esa
sucesión o función se acercan a determinado valor.
Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma
abreviada mediante lim como en lim(an) = a o se
representa mediante la flecha(→) como en an → a.

Figura 1.1
𝑓(𝑥) →
𝐿 cuando 𝑥 → 𝑎
Si
solo si 𝑓(𝑥) 𝐿
y
𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → 𝑎− 𝑓(𝑥) 𝐿
𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → 𝑎+

Aproximarse
A veces algo no se puede calcular directamente... ¡pero puedes saber cuál
debe de ser el resultado si te vas acercando más y más!

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN: ENFOQUE INFORMAL Considere la función:

𝒍𝒊𝒎
𝒏→𝟎

√𝒏 + 𝟑 − √𝟑
𝒏

Sustituye cada uno de los valores asignados a x en f(X) =√𝒏+𝟑−√𝟑
𝒏
𝒏→𝟎

𝒍𝒊𝒎

𝟎

= = 𝑭. 𝑰.
𝟎

X

-0.1

0-01

-0.001

0

0.001

0.01

0.1

F(x)

0.2911

0.2889

0.2887

¿?

0.2887

0.2884

0.28630

Al evaluar el limite por la izquierda y la derecha de 0 nos da que
√𝒏+𝟑−√𝟑
𝒏
𝒏→𝟎

𝒍𝒊𝒎

= 0.2887

Ing. Víctor Rafael Lobos Aldana

3
PROPIEDADES DE LOS LIMITES
Si b y c son números reales, n un entero positivo, f y g son funciones que tienen
límites cuando X → C , son válidas lassiguientes propiedades

1

Límite de una constante

2

Límite de una suma de
funciones

3

Límite de un producto

4

Límite de un cociente:

lim 𝑓(𝑥) = 𝐿

𝑥→𝑎

lim [f(x) ± g(x)] = 𝐿 ± 𝐺

𝑥→𝑎

lim [f(x). g(x)] = 𝐿 ∙ 𝐺

𝑥→𝑎

Li Limx→a f(x) = limx→a f(x) =
g(x)

limx→a g(x)

5

Límite de Potencia

6

Límite de una Función S lim g[f(x)] = g L

L

, G≠0
G

Ll lim [f(x)]n = Ln
𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

7. Límite de unaraíz

𝑛

𝑛
L lim √
𝑓(𝑥) = √L

𝑥→𝑎

Método de resolución de límites algebraicos
Evaluar un límite mediante el uso de las propiedades de los límites.
Desarrollar y usar una estrategia para el cálculo.
Evaluar un límite mediante el uso de técnicas de cancelación y
racionalización.
Utilizar métodos algebraicos (casos de factorización).

Ing. Víctor Rafael Lobos Aldana

4
EJEMPLO 1

𝒙−𝟏

𝒍𝒊𝒎

𝒙→𝟏 𝒙𝟐+𝒙−𝟐
𝒙−𝟏

𝒍𝒊𝒎

𝒙→𝟏 𝒙𝟐 +𝒙−𝟐

= 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟏

=

(𝟏)−𝟏

(𝟏)𝟐 −𝟏

𝒙+𝟐

𝟏
(𝟏)+𝟐

F.I

𝟎

Verificar que el límite sea de forma
indefinida.
Se cancela el factor.

(𝒙+𝟐)(𝒙−𝟏)

𝒙→𝟏

=

𝟎
𝒙−𝟏

= 𝒍𝒊𝒎 =

𝟏

=

=

𝟏

Evaluamos nuestro límite cuando X tiende a

𝟑

uno.

EJEMPLO 2

𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟏

𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟏

𝒙³−𝟏
𝒙−𝟏
𝒙³−𝟏
𝒙−𝟏

(𝟏)−𝟏

= (𝟏)𝟐

−𝟏

= 𝒍𝒊𝒎

𝒙→𝟏

𝒙→𝟏

= 𝒍𝒊𝒎

𝟎

= = 𝑭. 𝑰.
𝟎

(𝒙−𝟏)(𝒙𝟐 +𝒙+𝟏)

Factorizar.

(𝒙−𝟏)Cancelación de factores idénticos o

(𝒙−𝟏)(𝒙𝟐 +𝒙+𝟏)

comunes.

(𝒙−𝟏)
Evaluamos nuestro límite cuando x tiende a

= 𝒍𝒊𝒎 = (𝟏)𝟐 + (𝟏)

uno.

𝒙→𝟏

+𝟏=𝟑
EJEMPLO 3

𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟓

𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟓

𝑿𝟐 −𝟏𝟎𝑿+𝟐𝟓
𝑿𝟐 −𝟒𝒙−𝟓
𝑿𝟐 −𝟏𝟎𝑿+𝟐𝟓
𝑿𝟐 −𝟒𝒙−𝟓

=

(𝟓)𝟐 −𝟏𝟎(𝟓)+𝟐𝟓
(𝟓)𝟐 −𝟒(𝟓)−𝟓

= 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟓

𝟎

(𝒙−𝟓)𝟐
(𝒙−𝟓)(𝒙+𝟏)

= 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟓

𝟎

= = 𝑭. 𝑰.

(𝒙−𝟓)

=𝟎
(𝒙+𝟏)

Se cancela el factor (5-X)
Evaluamos nuestro límite cuando x
tiende a cinco. Ellimite si existe

Ing. Víctor Rafael Lobos Aldana

5
EJEMPLO 4

𝐥𝐢𝐦

√𝟕+ 𝟑√𝒙−𝟑
𝒙−𝟖

𝒙→𝟖

𝐥𝐢𝐦

√𝟕+ 𝟑√𝒙−𝟑
𝒙−𝟖

𝒙→𝟖

=

√𝟕+ 𝟑√(𝟖)−𝟑
(𝟖)−𝟖

𝟎

=

Verificar que el límite sea de forma
indefinida.

= 𝑭. 𝑰.

𝟎

Multiplicar por conjugado

√𝟕+ 𝟑√𝒙−𝟑 √𝟕+ 𝟑√𝒙+𝟑

= 𝐥𝐢𝐦

∙

𝒙−𝟖

𝒙→𝟖

√𝟕+ 𝟑√𝒙+𝟑

Las dos raíces en el numerador se
eliminan, ya que se elevan al
cuadrado al multiplicarlas
.

𝟑

𝟕+ √𝒙−𝟗

= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟖

𝟑(𝒙−𝟖)√𝟕+ √𝒙+𝟑
𝟑

√𝒙−𝟐

= 𝐥𝐢𝐦

Producto notable en el denominador y
cancelación

𝒙→𝟖 𝟑
𝟑 𝟐
𝟑
𝟑
( √𝒙−𝟐)( √𝒙 +𝟐 √𝒙+𝟒)√𝟕+ √𝒙+𝟑

𝟏

= 𝐥𝐢𝐦

𝟐
𝒙→𝟖 𝟑
( √(𝟖) +𝟐 𝟑√(𝟖)+𝟒)√𝟕+ 𝟑√(𝟖)+𝟑

=

𝟏
𝟕𝟐

Evaluación del límite

EJEMPLO 4
𝟏

𝒍𝒊𝒎

−
(𝟗+𝒉) 𝟐 −𝟑−𝟏

𝒉

𝒉→𝟎

𝒍𝒊𝒎

𝟏
𝟏
−
(𝟗+𝒉)𝟏/𝟐 𝟑

𝒉→𝟎

= 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎

= 𝒍𝒊𝒎

𝒉

𝟏

=

−
(𝟗+(𝟎)) 𝟐 −𝟑−𝟏

(𝟎)

= 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎

𝟑−(𝟗+𝒉)𝟏/𝟐
𝟑𝒉(𝟗+𝒉)𝟏/𝟐

𝟑−(𝟗+𝒉)𝟏/𝟐

𝟑+(𝟗+𝒉)𝟏/𝟐

𝟑𝒉(𝟗+𝒉)

𝟑+(𝟗+𝒉)𝟏/𝟐×
𝟏/𝟐

𝒉→𝟎

Efectuar ley del sándwich.

Multiplicar por el conjugado.

𝟗−𝟗+𝒉
𝟏

𝟏

Se cancela 9 con -9 y h entre h.

𝒉→𝟎 𝟑𝒉(𝟗+𝒉)𝟐 (𝟑+(𝟗+𝒉)𝟐 )

= 𝒍𝒊𝒎

= 𝑭. 𝑰.

𝟏
𝟏
𝟏
𝟑(𝟗+(𝟎))𝟐 (𝟑+(𝟗+(𝟎))𝟐 )

=

𝟏
𝟓𝟒

Ing. Víctor Rafael Lobos Aldana

Evaluación del límite

6
LIMITES TRIGONOMÉTRICOS
Estudiaremos aquí los límites de las funciones seno y coseno, y algunos
límites especiales...