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Capítulo 1.2
“Problemas Con Valores Iniciales”

INTRODUCCIÓN

Al buscar la solución a un problema de una ecuación lineal nos vamos a encontrar que y(x) satisface condiciones precisas que son impuestas sobre una y(x) o sus derivadas en cierto intervalo.

Resolver:

Sujeto a:

Donde las y son constantes reales arbitrarias, se llamaproblema con variables iniciales (PVI). Y los valores de y(x) y sus primeras n-1 son las condiciones iniciales.

Por ejemplo 1:
La ecuación diferencial y’+3y=0 la condición inicial es y(0)=2 constituye un problema con valores iniciales:

Reescribimos la ecuación a:

Separamos variables para poder integrar e integramos:


Aplicamos exponencial:




Teniendo la solución de la ecuación diferencialEstablecemos una solución particular cuando y(0)=2 ya que como existe una familia de curvas, nuestra solución es cuando C=2 .



Problema con valores iniciales de primer y segundo orden.

Para una ecuación diferencial de problemas con valores iniciales de n-esimo orden nos vamos a topar con soluciones de primero y segundo grado. Estos problemas son fáciles de interpretar en términos geométricos enlas familias de soluciones.

En el problema con valores iniciales de primer orden tenemos que encontrar la solución, para esta ecuación estamos buscando una solución de la ecuación diferencial en un intervalo I que contenga a x0, tal que su grafica pase por el punto (x0,y0).

En el problema con valores iniciales de segundo orden queremos determinar una solución y(x) de la forma de ecuacióndiferencial yn=f(x,y,y’) en un intervalo que contenga a x0 de tal manera que al realizar su familia de soluciones no solo pase por el punto (x0,y0), si no también por una pendiente de la curva que vamos a nombrar como y1.

El termino condiciones iniciales nace gracias a los fenómenos físicos que ocurrían respecto al tiempo que era la variable independiente donde y(t0).

Nota: La variable independientesiempre va a ser el tiempo, ya que todo cambia con respecto al tiempo y no al revés.

La solución de problemas con valores iniciales siempre va a estar dado gracias a la familia de soluciones que contiene el intervalo con la x0.

Retomando el ejemplo No 1 vimos la solución particular a la ecuación diferencial es la cual debe satisfacer a una constante encontrada en una familia de soluciones. Eneste caso y(0)=2.

Solución particular:

Solución con la constante dada:



Por lo tanto comprobamos que si se satisface la ecuación.
Ejemplo 2:

Un ejemplo de una ecuación diferencial y’-4xy=0
Tiene como condición inicial y(0)= constituye un problema con valores iniciales .

Verificamos que y es una solución a una ecuación diferencial, tomaremos la primera derivada de y:



Sustituimos laderivada de la ecuación en la ecuación principal


Podemos ver que se cumple la igualdad de manera:

Posteriormente encontramos la solución particular mediante la constante:
y(0)=


Por lo tanto vemos que satisface esta ecuación.



1.1.2 Existencia de una Solución Única.

Alguna región que contenga en el plano xy definida a
Cuando esta modela un situación física, la existencia y unicidad de la solución son de suma importancia, pues se espera tener una solución, debido a que físicamente algo puede suceder.

Sin embargo se espera que lasolución sea única ya que si se vuelve a hacer el fenómeno físico en condiciones idénticas, se debe llegar a un resultado igual o al menos similar al anteriormente descrito, para estos problemas es necesario hacer tres cuestiones para lograr resolver el algoritmo.

1.-Existencia: ¿De qué manera podemos comprobar si existe?
2.-Unicidad: Si la solución existe ¿Es la única?
3.-Determinación: Si es única...

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