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Páginas: 82 (20338 palabras)
Publicado: 13 de octubre de 2015
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ALGEBRA
INGENIER´IA INDUSTRIAL
´
EXAMENES
RESUELTOS
CURSO 2003-2004
Ejercicios resueltos por los profesores:
´ndez Sa
´nchez
Fernando Ferna
Estanislao Gamero Guti´
errez
Fernando Mayoral Masa
Alejandro Jos´
e Rodr´ıguez Luis
Juan Manuel Viru´
es Gavira
Departamento de Matem´atica Aplicada II
Escuela T´ecnica Superior de Ingeneros
Universidad de Sevilla
´INDICE
PRIMER PARCIAL - PRIMERAEjercicio 1 . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . .
DE FEBRERO
. . . . . . . . . . . . .
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SEGUNDA PARTE DEL EXAMEN DE FEBRERO
Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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SEGUNDO PARCIAL
Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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EXAMENEjercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
FINAL
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3 . . . .
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EXAMEN
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
DE SEPTIEMBRE
1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .
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. PRIMER PARCIAL - PRIMERA
PARTE DEL EXAMEN DE FEBRERO
26 de Enero de 2004
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Ejercicio 1
1.1 (6 puntos) Representar gr´aficamente la c´onica de ecuaci´on
4x2 − y 2 − 24x + 8y + 36 = 0,
determinando sus elementos notables (centro, ejes, focos, as´ıntotas, v´ertices, . . .).
1.2 (4 puntos) Determinar, completando cuadrados, el tipo de cu´adrica que corresponde a la
ecuaci´on
x2 + αy 2 + z 2 − 6x + 4z +8 − α = 0,
para cada valor α ∈ R.
´ n:
Solucio
1.1 Puesto que en la ecuaci´on de la c´onica no aparece el t´ermino xy, sabemos que basta con hacer
una traslaci´on adecuada x = x − x0 , y = y − y0 que lleve el origen de las nuevas coordenadas
al centro (elipse o hip´erbola) o al v´ertice (par´abola) de la c´onica. Tras dicha traslaci´on ser´a f´acil
identificar la c´onica pues llegaremos a
x2 y2
+2 = 1,
a2
b
x2 y2
− 2 = ±1,
a2
b
y = αx 2
o x = βy 2 ,
si se trata de una elipse, una hip´erbola o una par´abola, respectivamente.
Notemos que, antes de hacer ning´
un c´alculo, en el caso en que no aparece t´ermino xy, podemos
saber si estamos ante un caso el´ıptico (elipse, un punto o nada) si los dos coeficientes de x 2 e y 2
tienen el mismo signo, ante un caso hiperb´
olico (hip´erbola odos rectas que se cortan) si los dos
coeficientes de x2 e y 2 tienen signo opuesto o ante un caso parab´
olico (par´abola, dos rectas paralelas,
2
2
una recta doble o nada) cuando no aparece t´ermino x o y . Es obvio, pues, que nuestra ecuaci´on
corresponde al caso hiperb´olico.
Para determinar la traslaci´on a realizar basta con completar cuadrados en la ecuaci´on de la
c´onica:
4x2 − 24x = 4...
ALGEBRA
INGENIER´IA INDUSTRIAL
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EXAMENES
RESUELTOS
CURSO 2003-2004
Ejercicios resueltos por los profesores:
´ndez Sa
´nchez
Fernando Ferna
Estanislao Gamero Guti´
errez
Fernando Mayoral Masa
Alejandro Jos´
e Rodr´ıguez Luis
Juan Manuel Viru´
es Gavira
Departamento de Matem´atica Aplicada II
Escuela T´ecnica Superior de Ingeneros
Universidad de Sevilla
´INDICE
PRIMER PARCIAL - PRIMERAEjercicio 1 . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . .
DE FEBRERO
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SEGUNDA PARTE DEL EXAMEN DE FEBRERO
Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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SEGUNDO PARCIAL
Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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EXAMENEjercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
FINAL
1 . . . .
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3 . . . .
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EXAMEN
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
DE SEPTIEMBRE
1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .
3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. PRIMER PARCIAL - PRIMERA
PARTE DEL EXAMEN DE FEBRERO
26 de Enero de 2004
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Ejercicio 1
1.1 (6 puntos) Representar gr´aficamente la c´onica de ecuaci´on
4x2 − y 2 − 24x + 8y + 36 = 0,
determinando sus elementos notables (centro, ejes, focos, as´ıntotas, v´ertices, . . .).
1.2 (4 puntos) Determinar, completando cuadrados, el tipo de cu´adrica que corresponde a la
ecuaci´on
x2 + αy 2 + z 2 − 6x + 4z +8 − α = 0,
para cada valor α ∈ R.
´ n:
Solucio
1.1 Puesto que en la ecuaci´on de la c´onica no aparece el t´ermino xy, sabemos que basta con hacer
una traslaci´on adecuada x = x − x0 , y = y − y0 que lleve el origen de las nuevas coordenadas
al centro (elipse o hip´erbola) o al v´ertice (par´abola) de la c´onica. Tras dicha traslaci´on ser´a f´acil
identificar la c´onica pues llegaremos a
x2 y2
+2 = 1,
a2
b
x2 y2
− 2 = ±1,
a2
b
y = αx 2
o x = βy 2 ,
si se trata de una elipse, una hip´erbola o una par´abola, respectivamente.
Notemos que, antes de hacer ning´
un c´alculo, en el caso en que no aparece t´ermino xy, podemos
saber si estamos ante un caso el´ıptico (elipse, un punto o nada) si los dos coeficientes de x 2 e y 2
tienen el mismo signo, ante un caso hiperb´
olico (hip´erbola odos rectas que se cortan) si los dos
coeficientes de x2 e y 2 tienen signo opuesto o ante un caso parab´
olico (par´abola, dos rectas paralelas,
2
2
una recta doble o nada) cuando no aparece t´ermino x o y . Es obvio, pues, que nuestra ecuaci´on
corresponde al caso hiperb´olico.
Para determinar la traslaci´on a realizar basta con completar cuadrados en la ecuaci´on de la
c´onica:
4x2 − 24x = 4...
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