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2. Probabilidad
Estad´ıstica
Ingenier´ıa Inform´
atica

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Estad´ıstica (Aurora Torrente)

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Contenidos

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Experimentos aleatorios

2

Algebra de sucesos

3

Espacios de probabilidad

4

Combinatoria

5

Probabilidad condicionada. Independencia de sucesos

6

Reglas de la probabilidad total y de Bayes

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Experimentos aleatorios

Finalidad de todo experimento: obtener informaci´
on de inter´es
Experimentos determin´ısticos: su desarrollo y resultado es
previsible, seg´
un ciertas reglas
Experimentos aleatorios: se realizan en un contexto de
incertidumbre, y su desarrollo y resultado no se puede predecir:
dependen del azar

Los experimentos aleatorios secaracterizan por que:
conocemos de antemano todos los posibles resultados que se pueden
obtener
no podemos predecir el resultado de cada experimento particular
pueden repetirse indefinidamente en las mismas condiciones

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Experimentos aleatorios

Definici´on “emp´ırica” o “frecuentista” de la probabilidad:
Si un experimento aleatoriose repite en las mismas condiciones N veces y
anotamos el n´
umero de veces ni que se presenta un resultado particular, el
ni
tiende a estabilizarse en un valor fijo (la probabilidad del
cociente
N
resultado observado) cuando N → ∞.

no puede usarse en la pr´actica como definici´
on de probabilidad:
se requiere realizar un n´
umero infinito de veces un experimento para
calcular unaprobabilidad...
se podr´ıan aproximar estas probabilidades realizando el experimento un
n´
umero suficientemente elevado de veces, pero a veces los
experimentos aleatorios no pueden (o no deben) ser realizados ni
siquiera un n´
umero suficientemente alto de veces

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Experimentos aleatorios

Espacio muestral Ω de un experimento aleatorio:conjunto de todos
los posibles resultados distintos de dicho experimento
Suceso A: cualquier subconjunto del espacio muestral
Sucesos elementales: sucesos formados por un u
´nico resultado,
A = {s}

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Algebra de sucesos

Operaciones entre sucesos:
Uni´
on:
A ∪ B = {s ∈ Ω : s ∈ A, o s ∈ B}
(sucesos elementales que pertenecen a Ao bien a B, incluyendo los que
est´an en ambos simult´aneamente)

Intersecci´
on:
A ∩ B = {s ∈ Ω : s ∈ A, y s ∈ B}
(sucesos elementales que pertenecen a A y B a la vez)
sucesos incompatibles: tienen intersecci´
on vac´ıa

Diferencia:
A \ B ≡ A − B = {s ∈ Ω : s ∈ A y s ∈
/ B}
(sucesos elementales que pertenecen a A, pero no a B)

Complementario:
¯ ≡ Ac = {s ∈ Ω : s ∈
A
/ A}
(conjunto diferencia Ω− A)
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Algebra de sucesos

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Algebra de sucesos

Ejemplo:

(Sucesos y operaciones)

Consideremos el experimento aleatorio consistente en lanzar dos
monedas al aire.
Representamos “cara” por C y “cruz” por + ⇒ el conjunto de los posibles
resultados (espaciomuestral) ser´ıa Ω = {CC , C +, +C , ++}.
Ejemplos de sucesos:
A = “sacar una cara” = {C +, +C }
B = “sacar al menos una cruz” = {C +, +C , ++}
Operaciones con sucesos:
A ∪ B = {C +, +C , ++} = B
A ∩ B = {C +, +C } = A
B − A = {++}
A−B =φ
Ac = {CC , ++}
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Espacios de probabilidad

Definici´on “axiom´atica” de laprobabilidad
Definici´on rigurosa ⇒ se establecen leyes o axiomas (menor conjunto
posible de reglas tales que las dem´as se deducen como una consecuencia)
que debe cumplir una funci´
on de probabilidad
Llamamos funci´
on de probabilidad a una funci´
on P que verifica los
siguientes axiomas:
A1. Est´a definida en el conjunto de partes del espacio muestral Ω y toma
valores en el intervalo [0,1]:
P : P(Ω) →...