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1.8 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Hay una relación muy intima, que fue descubierta independientemente por Isaac Newton (1630-1677) y Gottfried Leibniz (1646-1716) el cual recibe el nombredel teorema fundamental del cálculo. En particular, ellos advirtieron que que el teorema fundamental les permitía calcular con gran facilidad áreas e integrales, sin tener que calcularlas como límites desumas. Informalmente se puede decir también que el teorema afirma que la derivación y la integración con operaciones mutuamente inversas.
Para ver cómo Newton y Leibniz se dieron cuenta de ello,consideremos la aproximaciones que se muestran en la figura 1 y la figura 2. Cuando se define la pendiente de la recta tangente, utilizamos el cociente ΔyΔx (Pendiente de la recta secante). Análogamente, aldefinir el área de un región bajo una curva, usamos el producto ΔyΔx (Área de un rectángulo). Así pues, es su primer paso derivación e integración son operaciones inversas ( División yMultiplicación). El teorema fundamental del Cálculo establece que el proceso de límite usado para definir ambas operaciones preserva esa relación inicial de inversas.


Figura 1. Derivación


Figura 1.Integración
El Teorema Fundamental del Cálculo
Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] y F es una primitiva de f en [a,b], entonces:

Teorema Fundamental del Cálculo, Primera Parte
Si  escontinua en, la función  esta definida por:

Es continua en: y derivable en: y
DEMOSTRACIÓNSi  y  están en, entonces:

Ecuación 2

Y así, cuando ,Suponemos que  ,
Dado  es continua
Usando el teorema del Valor Extremo dice que hay números,  y  en, tales que  y , en donde  y  son los valores mínimo y máximo absolutosde  en .
De acuerdo con la propiedad 8 de Integrales,

Es decir,

Como, podemos dividir esta desigualdad entre:

Ahora emplearemos la ecuación 2 y uniéndola con la ecuación anterior...