1

Ecuaciones
diferenciales
h
homogéneas
é

Objetivo: El alumno identificará las ecuaciones diferenciales
como modelo matemático de fenómenos físicos y resolverá
ecuaciones diferenciales de primerorden.
Contenido:

1.1 Definición de ecuación diferencial. Ecuación diferencial
ordinaria. Definición de orden de una ecuación
diferencial.
f
1.2 Solución de la ecuación diferencial: general y
particular.Definición de solución singular.
1.3 Problema de valor inicial.

1.4 Ecuaciones diferenciales de variables separables.
1 E
1.5
Ecuaciones
i
dif
diferenciales
i l homogéneas.
h
é

1.6 Ecuacionesdiferenciales exactas, factor integrante.

1.7 Teorema de existencia y unicidad para un problema de
valores iniciales

d
Antecedentes
Antes de estudiar las ecuaciones diferenciales
homogéneas es necesariodefinir lo que es
una función homogénea.
Una función f(x, y) se llama homogénea de
grado n con respecto a las variables x, y, si
para todo
t d ‘t’ se verifica
ifi
que
f(tx, ty) = tn f(x, y)

j
l 1para verificar
ifi
Ejemplo
f x, y
f t x , ty
t

2 x3
2 tx
t

5x y2
3

2t 3 x 3

4y3

5 tx
t ty
t
5t 3 x y 2

t3 2x3

5 xy2

2

4 ty
t

3

4t 3 y 3
4y3

t 3 f x, y
La función es una función homogénea degrado 3

j
l 2 para verificar
ifi
Ejemplo
Con la función

f x, y

x2

y2
xy

tx

f tx, ty

2

ty
tx ty

t2 x2

2

y2

t2 xy
t

0

x2

y2
xy

t 0 f x, y

Es una ecuación homogénea de grado cero

j
l3d
ifi
ió
Ejemplo
de verificación
En el caso de
f x, y
f t x, t y

x3

x2y
y3
tx

3

x
tx

2

ty
t 3x 3

t3 x 2 y
t3y3

ty

tx

3

tx

No es posible obtener el grado por lo tanto no
es homogénea

fii ió
Definición
Se dice que una ecuación diferencial de la
forma

M x, y dx

N x, y dyy

0

Es homogénea si las funciones M y N son
homogéneas y del mismo grado.
grado
También la función

y'

f x, ySerá homogénea si f x, y
es una función
homogénea de grado cero

Método de solución
Una ecuación diferencial homogénea de la forma

M x, y dx

N x, y dy

0

Se resuelve reduciéndola a una ecuación...