1

Área bajo la curva y la integral definida.
Teorema fundamental del cálculo.
Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces “f” es siempre integrable
en [a, b], entonces:

= F(b) – F(a)
En donde F es cualquier
ualquier función tal que F(x)=

para toda x en [a, b].

Por el teorema fundamental del cálculo sabemos que si f es una función continua en [a, b],
entonces existe unaintegral definida

. El resultado de dicha integral será igual

al área bajo la curva descrita por f(x) representada en un plano.

Ejemplos resueltos.
Ejemplo 1. Dada la función y= 4, encontrar el área que se encuentra bajo la recta en el
intervalo [2, 5].
4dx = aplicamos la fórmula 2.
4

dx = aplicamos la fórmula 3.

4

= evaluamos los límites.

4(5)+ C– [4(2) +C]= cancelamos las
constantes.
20+ C– 8–C= 20 – 8= 12u2

x

Nota: En una integral definida la
constante
de
integración
desaparece al efectuar la diferencia
En la gráfica anterior se puede verificar que el área
de los límites de integración.
bajo la función y=4, en el intervalo [2, 5] es igual a
12u2
Por lo que se cumple el teorema fundamental del
cálculo.

Ejemplo 2. Dada la función y= 2x, encontrar el área que se encuentra bajo larecta en el
intervalo [0, 4].
2xdx = aplicamos la fórmula 2.
2

xdx = aplicamos la fórmula 4.

2

= simplificamos.

2 =

evaluamos los límites.

(4)2 – (0)2 =16 u2
x

En la gráfica anterior se puede verificar que el área
bajo la función y=2x, en el intervalo [0, 4] es igual a
16u2
Por lo que se cumple el teorema fundamental del
cálculo.
Ejemplo 3. Dada la función y= -x+2,
x+2, encontrar el área quese encuentra bajo la recta en el
intervalo [-1, 3].
x

2 dx = aplicamos la fórmula 1.

xdx

y

2dx= aplicamos la fórmulas 2.

1
xdx +2
dx= aplicamos la fórmulas 4 y
3 respectivamente.
A1= 4.5 u

2 =!
2 3
$

6

2 "
2

2 & 'u2

2

A2= -0.5 u2

evaluamos los límites.
x

1 Simplificamos.
El área buscada se encuentra entre dos
secciones, el área que está por debajo
de la recta y el área que está porencima
de la recta, por lo que el área total se
obtiene de la diferencia entre dichas
áreas.

HACIENDO USO DE LAS TECNOLOGÍAS INFORMÁTICAS.

Como calcular el área bajo una curva utilizando el simulador Grapmatica.
A continuación haremos uso de un software informático llamado Graphmatica, para poder
tener
acceso
a
este
software
deberás
de
ingresar
a
la
página
www.competenciasmatematicas.com, en elmenú principal buscar descargas y elegir el
software Graphmatica. Para aprender cómo usar este software y puedas elaborar tus
gráficas sigue los pasos que a continuación se indican.

Al finalizar esta actividad te corresponde llevar a cabo lo aprendido aplicándolo a todos
los ejercicios de la tarea de evaluación de esta sección, imprímelo y entrégaselo a tu
profesor ya que formará parte de tuportafolio de evidencias.

Antes de que aprendas sobre el uso de este programa será necesario hacer algunos ajustes
para que no gastes mucha tinta a la hora de imprimirlos y tus gráficos resalten más. Sin
embargo si no te gusta de esa mane
manera
ra podrás dejarlo como aparece predeterminado.
El primer cambio será modificar el color del papel gráfico.
Para ello deberás ir al menú principal, dar clicken Opciones, Papel gráfico,
gráfico Colores,
seleccionar Monocromático y aceptar.

Con la finalidad de resaltar la línea de tu gráfico haremos los siguientes cambios.
Para ello deberás ir al menú principal, dar click en Opciones,, seleccionar Preferencias y en
el menú general aparece dibujar gráficas
grá
con líneas gruesas,, dar click en el cuadro y
escribir el número 3 pixeles.

Incluir lasbarras de desplazamiento y cuadrado automático para la impresión
Para incluir las barras de desplazamiento, deberás ir al menú Ver y seleccionar Barras de
desplazamiento.
Para la selección del rango de impresión, deberás ir al menú Opciones
pciones y donde dice
√cuadrado automático hacer click en la palomita (debe quedar sin palomita).

Ahora si ya estamos listos para iniciar nuestros gráficos....