10 Transformada Fourier

1
f (t ) 
2





F ( ) exp (i t ) d 



La transformada
de
Fourier


F ( ) 





f (t ) exp(i t ) dt
1

De la Serie de Fourier a
la Transformada de Fourier
La serie de Fourier nos permite obtener una
representación en el dominio de la frecuencia
de funciones periódicas f(t).
¿Es posible extender de alguna manera las
series de Fourier para obtener una
representación en el dominiode la frecuencia
de funciones no periódicas?
Consideremos la siguiente función periódica de
2
periodo T:

Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y
periodo T:
1

f(t)
p

...

-T

-T

/2

0
-p

/2

0

f (t )  1
0


/2
p
/2
T

T
2
p
2
p
2

T ...

t

t 
t 
t 

 p
2
p
2
T
2
3

Los coeficientes de la serie compleja de
Fourier en este caso resultan puramente
reales:
p
0 2
p
0 2

 p sen(n )
cn  
 T  (n )
El espectro de frecuencia correspondiente
lo obtenemos (en este caso) graficando c n
contra = n0.
4

Espectro del tren de pulsos para p = 1, T =
2
0.6

cn

0.4
0.2
0
­0.2

­60

­40

­20

0

20

40

60 w=nw0
5

Si el periodo del tren de pulsos aumenta...
1.5

p = 1, T = 2

f(t)

1
0.5
0
­20

­10

1.5

t

0

10

20

10

20

t

10

20

t

10

20

p = 1, T = 5

f(t)

10.5
0
­20

­10

1.5

t

p = 1, T = 10

1

f(t)

0

0.5
0
­20

­10

f(t)

1.5

0

p = 1, T = 20

1

0.5
0
­20

­10

0

6

...el espectro se "densifica".
0.6

cn

p = 1, T = 2

0.4
0.2
0
­0.2

­50

0

=n0

50

0.3

p = 1, T = 5

0.2
0.1
0
­0.1

­50

0

0.15

50

p = 1, T = 10

0.1
0.05
0
­0.05

­50

0.06

0

50

p = 1, T = 20

0.04
0.02
0
­0.02

7
­50

0

50

En el límite cuando T, la funcióndeja de
ser periódica:
1.5

p = 1, T = 

f(t)

1
0.5
0
­20

­10

0

t

10

20

¿Qué pasa con los coeficientes de la serie
de Fourier?
8

Si se hace T muy grande (T), el espectro
se vuelve "continuo":

9

El razonamiento anterior nos lleva a
reconsiderar la expresión de una función f(t)
no periódica en el dominio de la frecuencia,
no como una suma de armónicos de
frecuencia n0, sino como unafunción
continua de la frecuencia .


Así, la serie:

f (t )   cn e

in0t

n 

al cambiar la "variable discreta" n0 (cuando
T) por la variable continua , se
transforma en una integral de la siguiente
manera:
10

T /2

Recordemos:

cn 

f (t )e

1
T

 in0t

dt

 T /2

La serie de Fourier es:
f (t ) 
-T/2< x < T/2
O bien:
T 2 / 0
0 2 / T

y

2
T
0

 1 T /2
 in0t
in0t
dt  e
 T f (t )e

n    T / 2



1
f (t )    2
n  


T /2

f (t )e

 T /2

 in0t


in0t
dt 0 e


Cuando T , n0   y 0  d y el sumatorio
se convierte en:


f (t )  21


 i t
 i t
 f (t )e dt  e d

   

11

La transformada de Fourier
Es decir,


f (t )  21

i t
F
(

)
e
d




donde:



F ( )  f (t )e

 i t

dt

Identidad
deFourier
o antitransformada de
Fourier
Transformada
de Fourier



Estas expresiones nos permiten calcular la
expresión F() (dominio de la frecuencia) a
partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa.12

La transformada de Fourier y
la transformada inversa de Fourier


F ( ) 



f (t ) exp(i t ) dt



1
f (t ) 
2





F ( ) exp(i t ) d 



En algunos textos, el factor 1/2 se"reparte" entre la transformada y la
anti-transformada para obtener simetría en la expresión, como: 1/√(2).

13

Notación: A la función F() se le llama
transformada de Fourier de f(t) y se
denota por F o fˆ , es decir


 it
ˆ
F [ f (t )] F ( )  f ( )  f (t )e dt


En forma similar, a la expresión que nos
permite obtener f(t) a partir de F() se le
llama transformada inversa de Fourier yse denota por F –1 ,es decir

1

F [ F ( )] f (t ) 

1
2

i t

F
(

)
e
d





14

Transformadas integrales
b

F ( )  K ( , t ) f (t ) dt
a

– K(,t): núcleo o kernel.
– Asocia a cada función f(t) en el
espacio t, directo o real, otra función
F() en el espacio  o recíproco.
– Ejemplos: de Fourier, Wavelet,
transformada Z, de Laplace, de
Hilbert, de Radon, etc

15

Un...