10

DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE
1

matemáticas - grado 10

Reconoce que no todos los números son racionales, es decir, no
todos los números se pueden escribir como una fracción de
enteros a/b. Por ejemplo, conoce una demostración del hecho de
que 2 no es racional.

4

Suponer que 2 se escribe como una fracción lleva a una contradicción.
a
a²
2b² = a²
2 =
2=
b
b²
En cualquier número al cuadrado elnúmero de primos en que se descompone es
par (si descompone cualquier número en primos y se eleva al cuadrado, entonces
cada primo se elevará al cuadrado). Por lo tanto en a² y en b² hay un número par
de 2’s. Así en el lado izquierdo de la última ecuación (2b² ) hay un número impar de
2’s, mientras que en lado derecho (a²) hay un número par de 2’s. Esto muestra que
esos dos lados no pueden seriguales y, por lo tanto, 2 no puede inscribirse como
una fracción.

Población
(en cientos de peces)

2,4

2,43

2,429

2,4286

2,42857

···

1

1,4

1,41

1,414

1,4142

1,41421

···

56

Imagine que sombrea medio círculo, después la mitad de lo que
estaba sin sombrear, y así sucesivamente. ¿Qué porción del círculo
ha sombreado en cada paso y cuál es el límite si continúa
indefinidamente?

●

n=1n=2

n=4

n=3

límite
n ∞

3
4

1
2

n

1

Porción del círculo 2 n - 1
coloreada:
2n

1
2

2
1
2

3

₊1₌
4
₌ 0,75

3
4

3
4

₊1₌7
8 8
₌ 0,874

4
7
8

20

=

30

5600 peces - 1000 peces
20 meses
510 peces/mes

Tiempo (en meses)

La razón de cambio promedio es una aproximación al cambio real
pero en muchas ocasiones no lo refleja con precisión. Por ejemplo,
entre el mes 10 y el mes 11 la poblacióncreció menos que 510
peces y entre el mes 25 y 26 la población creció más que 510
peces. Sin embargo, al cabo de los 20 meses (entre el mes 10 y el
30) el cambio en la población fue igual al que se hubiera producido si la población hubiese crecido exactamente 510 peces
cada mes.

5

Reconoce la noción razón de cambio instantáneo de una
función en un punto x=a:
Como la pendiente de la
recta tangentea la gráfica en
el punto A.
● Como el valor al que tienden
las razones de cambio
promedio de la función entre
x=a y puntos cada vez más
cercanos a éste.
●

P
P
A

P
P
Pendiente = Razón de cambio
instantáneo de f en a

x
a
Por ejemplo, la siguiente gráfica muestra la temperatura C(t) de una
sopa que se colocó sobre un fogón durante 20 minutos y después
se retiró para que se enfriara.

15
16

7
8=
10

17
7
2

Comprende el concepto de límite de una sucesión.

razón de cambio cambio en población
= cambio en tiempo
promedio

10

Reconoce que los números racionales tienen expansión decimal
que es finita o infinita eventualmente periódica, mientras que
para los irracionales es infinita y no periódica.

2

La razón de cambio promedio entre los meses
10 y 30 está dada por:

70

Expresa un númeroracional con expansión decimal periódica o
finita como una fracción. Reconoce que todo número (racional
o irracional) tiene una expansión decimal y encuentra una
sucesión de racionales que lo aproxima. Por ejemplo:
2

Comprende el significado de la razón de cambio promedio
de una función en un intervalo (a partir de gráficas, tablas o
expresiones) y la calcula. Por ejemplo, la gráfica muestra lacantidad de peces en un lago luego de haber introducido 800
especímenes.

...

₊ 1 ₌ 15 ...
16 16
₌ 0,9375

Pendiente = razón de cambio instantánea
≈ -1,8 °C / min

Temperatura en ºC

y

60
40

Si continuamos este proceso indefinidamente, la porción del círculo
sombreada estará cada vez más cerca del círculo completo.

3

Reconoce la familia de funciones logarítmicas f (x) = loga(x) unto
con sudominio, rango, propiedades y gráficas.
y

y = log₂ x
y = log₃ x

1

y = log₄ x
1 2

x

El punto de corte con el eje x
es 1.
● A medida que x aumenta, el
valor de la función aumenta.
● El dominio es (0,∞).
● El rango es el conjunto de los
números reales.

y = c(t)

20

20

10

40

50

t

Tiempo en minutos

●

La pendiente de la tangente en (30,C(30)) es aproximadamente
-1,8ºC/min, lo cual significa...