100408_Fase1_Grupo150 1

TRABAJO COLABORATIVO 1
ALGEBRA LINEAL

Presentado por:
JOSÉ DOMINGO PALOMINO
COD.: 91185402
ENIER GARCIA VILLA
COD.:91184338
CLAUDIA LILIANA TAMI
COD: 37617931
LINA PAOLA RUEDA
COD:

Presentado a Tutor:
HERIBERTO MARTINEZ

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
2015

INTRODUCCIÓN

Por medio de este trabajo colaborativo podemos evidenciar todo lo relacionado a
la unidad uno de algebra linealsiendo esta una de las ramas de la matemáticas
que estudia los espacios vectoriales los cuales lo podemos observar en el
transcurso de este trabajo en el que aplicamos las matrices y los vectores la cual
la empleamos para la respectiva representación geométrica como segmentos de
recta.

Donde a la vez en este trabajo tiene como finalidad para el equipo colaborativo dar
solución a los ejerciciospropuestos en la unidad uno de algebra lineal y así mismo
obtener conocimientos los cuales los podemos compartir en el foro con nuestros
compañeros lo que nos lleva a obtener un producto final con la participación activa
de cada uno de nosotros con los respectivos aportes.

Resolver los cinco problemas que se presentan a continuación, describiendo el
proceso paso por paso:
1.

Dados los siguientesvectores dados en forma polar:
u  5;  225 0
a.
b.

v  3;  60 0

Realice analíticamente, las operaciones siguientes:
1.1.
1.2.
1.3.

 
2u  6v
 
v u


6v  7u

SOLUCION
Los vectores se pasan a coordenadas cartesianas de la siguiente manera:
Para el vector 𝑢̅
𝑥 = |𝑢̅| ∗ 𝑐𝑜𝑠 (𝜃)
𝑦 = |𝑢̅| ∗ 𝑠𝑒𝑛 (𝜃)
Entonces:
5√2
√2
)=−
2
2
5√2
√2
𝑦 = 5 ∗ sen(225) = 5 ∗ (− ) = −
2
2
5√2
5√2
𝑢̅ = (−
,−
)
22
𝑥 = 5 ∗ cos(225) = 5 ∗ (−

Para el vector 𝑣̅
𝑥 = |𝑣̅ | ∗ 𝑐𝑜𝑠 (𝜃)
𝑦 = |𝑣̅ | ∗ 𝑠𝑒𝑛 (𝜃)
1
3
𝑥 = 3 ∗ cos(60) = 3 ∗ ( ) =
2
2
3√3
√3
𝑦 = 3 ∗ sen(60) = 3 ∗ ( ) =
2
2
3 3√3
𝑣̅ = ( ,
)
2 2

Mostrando los vectores gráficamente:

1.1.

Ahora resolviendo cada uno de los puntos propuestos se tiene:
̅ − 𝟔𝒗
̅
𝟐𝒖

5√2
3
5√2
3√3
− 6 , −2
−6
)
2
2
2
2
̅ − 𝟔𝒗
̅ = (−5√2 − 9, −5√2 − 9√3)
𝟐𝒖
̅ − 𝟔𝒗
̅ = (−2
𝟐𝒖Aproximando
̅ − 𝟔𝒗
̅ = (−16.07, −22.66)
𝟐𝒖
Dando el resultado en forma polar
2

2

|2𝑢̅ − 6𝑣̅ | = √(−5√2 − 9) + (−5√2 − 9√3) = √258.279 + 513.454 = 𝟐𝟕. 𝟕𝟖

𝜃 = tan−1 (

−5√2 − 9√3
−5√2 − 9

) = −𝟏𝟐𝟓. 𝟑𝟓° 𝑺. 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒓𝒊𝒐 = 𝟐𝟑𝟒. 𝟔𝟓° 𝑺 𝒂𝒏𝒕𝒊𝒉𝒐𝒓𝒂𝒓𝒊𝒐

Realizándolo gráficamente

̅−𝒖
̅
𝒗
3 5√2 3√3 5√2
𝑣̅ − 𝑢̅ = ( +
,
+
)
2
2
2
2
3 + 5√2 3√3 + 5√2
𝑣̅ − 𝑢̅ = (
,
)
2
2
1.2

Aproximando
𝑣̅ − 𝑢̅ = (5.035 , 6.133)Dando el resultado en forma polar

2

2

3 + 5√2
3√3 + 5√2
|𝑣̅ − 𝑢̅| = √(
) +(
) = 7.936
2
2
3√3 + 5√2
3√3 + 5√2
2
𝜃 = tan−1 (
) = tan−1 (
) = 𝟓𝟎. 𝟔𝟏𝟓°
3 + 5√2
3 + 5√2
2
Realizándolo gráficamente

̅ − 𝟕𝒖
̅
6𝒗
3
5√2 3√3
5√2
6𝑣̅ − 7𝑢̅ = (6 + 7
,6
+7
)
2
2
2
2
18 + 35√2 18√3 + 35√2
6𝑣̅ − 7𝑢̅ = (
,
)
2
2
1.3

Aproximando
6𝑣̅ − 7𝑢̅ = (33.75 , 40.34)

Dando el resultado en forma polar
2

2

18 + 35√2
18√3+ 35√2
|6𝑣̅ − 7𝑢̅| = √(
) +(
) = 52.59
2
2
𝜃 = tan

−1

18√3 + 35√2
2
(
) = 𝟓𝟎. 𝟎𝟖𝟐°
18 + 35√2
2

Realizándolo gráficamente

2.

Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores:


2.1. u  2iˆ  9 ˆj
y v  6iˆ  9 ˆj


2.2. w  5iˆ  ˆj
y z  7iˆ  4 ˆj

SOLUCION

2.1.

⃗ = 𝟐𝒊̂ + 𝟗𝒋̂
𝒖

y

⃗ = −𝟔𝒊̂ + 𝟗𝒋̂
𝒗

Dado que

cos(𝜃) =

𝑢
⃗ ∙𝑣
|𝑢
⃗ ||𝑣|

Tenemos,
cos(𝜃) =
cos(𝜃) =
cos(𝜃) =

((2𝑖+ 9𝑗) ∙ (−6𝑖̂ + 9𝑗̂))
|2𝑖̂ + 9𝑗̂||−6𝑖̂ + 9𝑗̂|
(−12 + 81)
√4 + 81√36 + 81
69
√85 ∗ 3√13

𝜃 = cos −1

23
√85√13

≈ 46.22°

2.2.

⃗⃗⃗ = −𝟓𝒊̂ − 𝒋̂
𝒘

y

SOLUCION
Dado que
cos(𝜃) =

𝑤
⃗⃗ ∙ 𝑧
|𝑤
⃗⃗ ||𝑧|

Tenemos,
cos(𝜃) =
cos(𝜃) =

cos(𝜃) =

((−5𝑖̂ − 𝑗̂) ∙ (−7𝑖̂ − 4𝑗̂))
|−5𝑖̂ − 𝑗̂||−7𝑖̂ − 4𝑗̂|
(35 + 4)
√25 + 1√49 + 16
39
√26√65

𝜃 = cos −1

=

3√10
10

3√10
≈ 18.43°
10

⃗ = −𝟕𝒊̂ − 𝟒𝒋̂
𝒛

3. Dada lasiguiente matriz, encuentre 𝑨−𝟏 empleando para ello el método
de Gauss – Jordán.
2 8 0
𝐶 = [−3 0 −1]
8 1 −3
2 8 0 ⋮1 0 0
[−3 0 −1 ⋮ 0 1 0]
8 1 −3 ⋮ 0 0 1
1

 𝑓1 = 2 𝑓1

1 4 0 ⋮ 1/2
[−3 0 −1 ⋮ 0
8 1 −3 ⋮ 0
1
[0
0

𝑓2 = 3𝑓1 + 𝑓2

𝑓3 = (−8)𝑓1 + 𝑓3

1

 𝑓2 = 12 𝑓2

1
[0
0

12

4
0 ⋮ 1/2
12 −1 ⋮ 3/2
−31 −3 ⋮ −4

4
0 ⋮ 1/2
1
−1/12 ⋮ 1/8
−31
−3 ⋮ −4

1
𝑓1 = (−4)𝑓2 + 𝑓1

[0
𝑓3 = (31)𝑓2 + 𝑓3
0

 𝑓3 =...