100412 32 Tra_ colaborativo ecuaciones diferenciales Fase 3

ECUACIONES DIFERENCIALES
APORTE TRABAJO COLABORATIVO N° 3

Presentado por:
DAIRA MILENA PELAEZ SANCHEZ
CÓDIGO 32.259.064
JUAN ELÍAS BELLO ALVAREZ
CÓDIGO 9294833
WILSON VALENCIA MUÑOZ
CÓDIGO 18466035

Presentado a:
EDUARDO GUZMAN
Grupo: 100412-32

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIAS E INGENIERIAS
MARZO 2015

INTRODUCCIÓN

En el presente trabajocolaborativo efectuaremos aplicaciones de la unidad 3 del módulo de Ecuaciones
Diferenciales usaremos la series matemática y en especial la serie de potencias para resolver ciertos tipos
de ecuaciones. Es así que con base a los conocimientos adquiridos hasta la fecha en el estudio de las
matemáticas, hoy nos adentramos en un fascinante mundo de las ecuaciones diferenciales para el estudio
y lasolución de aquellos problemas que tendrán una gran influencia en nuestro mundo laboral; por ésta
razón el estudio y la solución son los métodos que aprovechamos en nuestro trabajo colaborativo para ir
aumentando nuestros conceptos teóricos prácticos para la solución de un sin número de interrogantes que
a cada momento se presentan, ya que gracia a esta área el hombre ha encontrado la solución aproblemas
de todo tipo. Las matemáticas están inmensas en todos los campos, por ende es imposible obviar su
aplicación.

OBJETIVOS

Objetivo General

Identificar y analizar la los ejercicios propuestos para este trabajo colaborativo.

Objetivos Específicos

Coordinar con los compañeros para la realización de los ejercicios propuestos en
la guía de actividades de acuerdo al número de grupo.

Realizar losejercicios de acuerdo al módulo educativo

Encontrar la metodología de las técnicas y herramientas del estudio la cual
facilita un aprendizaje flexible, permitiendo dirigir el propio proceso. Al mismo
tiempo, se busca la implicación personal en los contenidos

ACTIVIDAD No.1

Escoger del listado de ejercicios propuesto un ejercicio de cada temática y desarrollarlo
de forma individual.
1. Temática:ecuaciones diferenciales y solución por series de potencias
Resolver el problema de valor inicial a través del método de series de Taylor:

Usaremos los primeros términos de esta solución en serie para aproximar los valores de
Como c= 0 entonces,

Como

e

, derivando se tiene lo siguiente:

Reemplazando los valores encontrados tenemos

Reemplazando los valores encontrados tenemos

(Elaboradopor: Juan Bello)

2. Revisar la convergencia de las siguientes series

Utilizaremos el criterio del cociente

1

El

resultado

es

.

no se puede decir si converge o diverge.

El

resultado

es

No se puede decir si converge o diverge.

Por

tanto,

(Elaborado por: Juan Bello)

.

Por

tanto,

(Elaborado por: Juan Bello)

1
n 1

2n

1

El resultado es

. Por tanto,

converge.

(Elaborado por:Juan Bello)

1
n

1

n!

El

Converge.

resultado

es

.

Por

(Elaborado por: Juan Bello)

tanto,

3. Hallar la solución general de la siguiente ecuación como una serie de potencial
alrededor del punto x=0

Y=

entonces

Y´ + 2xy =

+

Y´ + 2xy =

+

y´

Y´ + 2xy =a1 +

+

Sea k = -1; k = n+1
Y´ + 2xy =a1 +

+

Y´ + 2xy =a1 +
=0
(k+1) ak+1 +2an-1 = 0, k = 1, 2,3,….
Sabiendo que k +1

+1 =

,

k =1, 2,3,…..

k = 1 entonces a2 =

k=2 entonces

donde

k=3 entonces

k=4 entonces

k=5 entonces

k=6 entonces

k=7 entonces

k=8 entonces

k=9 entonces

Y=

+

Y=

+ 0-

Y=

-

+

+

+

………

+

(Elaborado por: Wilson Valencia)

4. Resolver por series la ecuación diferencial

Y´´ - (x+y) y´

y = x,

y (0)=1,

y´ (0)=0

Por serie de maclanin de y(x) tenemos

Y (x)

Y (x)= Y (0) +y´ (0) x +

De laecuación tenemos que
Y´´= x+ (x+1) y´-

y

evaluando x= 0 tenemos

Y´´ (0) =0 + (0+1)(1)+

entonces y´´(0)= 1

Derivando nuevamente tenemos
Y´´´(x)= 1+y´+(x+1) y´´-2xyY´´´(x)= 1+2xy+ (1-

y´

) y´+(x+1)y´´

Y´´´ (0)= 1-0+1+1 entonces y´´´ (0)= 3
Derivando
(x)= 2y -2xy´-2xy´+(1-

(0)= -2y -4xy´+ (2-

)y´´+ y´´+(x+1)y´´´

) y´´+ (x+1) y´´´

(0)= -2 -0+2+ 3 entonces

=3

= 2y´ -4y-4xy´´-2xy´´+ (2-...