100A Ños De Soledad

Definición.
Sea a un real positivo fijo, y sea x cualquier real positivo, entonces:

La función que hace corresponder a cada número real positivo su logaritmo en base ,

denotada por ,sellama: función logarítmica de base a, y, el número se llama logaritmo de x en la base a.

La definición anterior, muchas veces, se expresa diciendo que :el logaritmo de un número, en una base dada,es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.

En el teorema siguiente, se presentan las propiedades más importantes de los logaritmos.

2.2.1 Teorema ( Propiedades delos logarítmos )

Si a > 0, y b es cualquier real positivo, x e y reales positivos, entonces :

.

.

Cuando a > 1 , si 0 < x < y , entonces, .Es decir ,la función logarítmica de base a > 1es estrictamente creciente en su dominio.

Cuando 0 < a < 1, si 0 < x < y ,entonces, .Esto es la función logarítmica de base entre 0 y 1; es estrictamente decreciente en su dominio.

Para todonúmero real , existe un único número real tal que . Esta propiedad indica que la función logarítmica es sobreyectiva .

.

Si , y, a != 0 , entonces, . (Invarianza)


Demostración.Para demostrar las propiedades de los logaritmos, se hace uso de la definición y de las propiedades de la función exponencial, presentadas en la sección anterior.

A manera de ilustración , sedemuestran las propiedades 1,4 y 7. Se dejan las restantes como ejercicio para el lector.


Sea .De acuerdo a la definición de logaritmo y de la propiedad 9 del teorema 3 ,se tiene :

.

Estoes , ( 1 )

En segundo lugar , nuevamente por la definición , . 0

Es decir , ( 2 ).

De ( 1 ) y ( 2 ), se concluye que .

Sea y , entonces :

( 1 ).

( 2 ).

De ( 1 ) y ( 2), se sigue que : .

Es decir , .

7.Se supone que a > 1 y 0< x < y. Sean : y .Se prueba que

.

En efecto ,si ,y como a > 1 ,se tendría por la propiedad 7 del teorema 3 que , es...