11 3 SEL Y GAUSS

Sesión 11.3

Sistemas lineales y
Método de Gauss

Matemática Básica (Ing.)

Consideraciones previas
1. La compañía Ruiz invierte un
total de $30 000. Una parte al 6%
y el resto al 9%. Los dividendos
anuales de las dos inversiones
son iguales a los que ganaría
todo el dinero si estuviera
invertido al 7%. Encontrar la
cantidad invertida a cada tasa.
2. Determine las dimensiones
de un jardínrectangular que
tiene perímetro de 100 pies y
área de 300 pies2.
y
Matemática Básica (Ing.)

2

x

Necesidad de la modelación usando SEL
Se dispone de tres marcas de fertilizante que proporcionan los
siguientes nutrientes: nitrógeno, ácido fosfórico y potasio.
• Una bolsa de la marca A proporciona 1 unidad de
nitrógeno, 3 unidades de ácido fosfórico y 2 unidades
de potasio.
• Una bolsa de la marca Bproporciona 2 unidades de
nitrógeno y 1 unidad de ácido fosfórico y
• Una bolsa de la marca C proporciona 3 unidades de
nitrógeno, 2 de ácido fosfórico y 1 unidad de potasio.
Para un crecimiento ideal, el suelo necesita 18 unidades de nitrógeno,
23 unidades de ácido fosfórico y 13 unidades de potasio por acre.
Plantee un modelo matemático que permita determinar cuántas
bolsas de cada marca defertilizante deben usarse por acre
para lograr un crecimiento ideal.
Matemática Básica (Ing.)

3

Clasificación de los SEL de acuerdo a
sus soluciones
3. Resuelva los siguientes sistemas
 x  3y   2

 2 x  6y  4

 2 x  3y  5

  3x  5y  21
y

4 x  5y  2


  12 x  15y   6

y

y

3
-2

Sistema
compatible
determinado
Matemática Básica (Ing.)

x

x

x

Sistema
incompatible

Sistemacompatible
indeterminado
4

Clasificación de los SEL de acuerdo a
sus soluciones
3. Resuelva los siguientes sistemas
 x  3y   2

 2 x  6y  4

 2 x  3y  5

  3x  5y  21
y

4 x  5y  2


  12 x  15y   6

y

y

3
-2

Sistema
compatible
determinado
Matemática Básica (Ing.)

x

x

x

Sistema
incompatible

Sistema
compatible
indeterminado
5

Sistemas de ecuaciones y operacionescon filas (renglones)
Para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones
1.

x  2 y  z 7
y  2 z  7
z 3

2.

x  2 y  z 7
3x  5 y  z 14
2 x  2 y  z 3

x  3 y  z 4

3.

 x  2 y  5 z 3
5 x  13 y  13 z 8

Se puede aplicar el Método de Gauss, de manera
que con operaciones de fila como en el ejemplo 2,
se puede llegar a una forma de sistema de
ecuaciones similar al ejemplo 1,sin alterar el
resultado para x, y y z.
Matemática Básica (Ing.)

6

Eliminación gaussiana
Las operaciones siguientes producen un sistema
equivalente de ecuaciones lineales.
1. Intercambiar cualesquier dos ecuaciones del
sistema.
2. Multiplicar (o dividir) una de las ecuaciones
por cualquier número real distinto de cero.
3. Sumar un múltiplo de una ecuación a
cualquier otra ecuación del sistema.Según estas indicaciones, resuelva los ejemplos
2 y 3. ¿A qué conclusión llega?
Matemática Básica (Ing.)

7

Operaciones elementales por filas
Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales
(SEL), para aplicar operaciones de fila (renglón R)
se escribe la matriz ampliada.

Sistema de
ecuaciones

Matriz ampliada

Matemática Básica (Ing.)

x  2 y  z 7
3 x  5 y  z 14
2 x  2 y  z 3
1  2 17 
 3  5 1 14 


 2  2  1 3 
8

Proceso de operaciones por filas
Multiplique la fila 1 por -3 y sume el resultado a la fila 2: (R23R1)
1  2 1 7 
x  2 y  z 7

y  2 z  7

(-3)R1+R2

2 x  2 y  z 3

0 1  2  7


 2  2  1 3 

Multiplique la fila 1 por -2 y sume el resultado a la fila 3: (R32R1)
1  2 1 7 

x  2 y  z 7
y  2 z  7
2 y  3 z  11

(-2)R1+R30

0

1
2

 2  7 
 3  11 

Multiplique la fila 2 por -2 y sume el resultado a la fila 3: (R32R2)
1  2 1 7 
x  2 y  z 7

y  2 z  7
z 3
Matemática Básica (Ing.)

(-2)R2+R3

0

0

1
0

 2  7
1 3 

9

Forma escalonada por filas de una
matriz
Una matriz está en la forma escalonada por
filas si se satisfacen las condiciones siguientes.
1. Las filas que consisten...