11 Calculo En Dos Y Tres Variables Reales

Páginas: 121 (30186 palabras) Publicado: 21 de octubre de 2015
Cálculo con dos y tres variables reales:
Parametrizaciones
Funciones de varias variables
Integral múltiple, de línea y de super…cie
Joel Cruz Ramírez
2013-2014

ii

Índice general
Introducción

V

1. Parametrizaciones de una variable real al plano y al espacio
1.1. Parametrizaciones de una variable en el plano y en el espacio . .
1.2. El álgebra de las parametrizaciones . . . . . . . . . . . .. . . .
1.3. Trazas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Norma de una parametrización . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Límite y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1. El álgebra de los límites . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. Integral . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8. Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9. Reparametrización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.1. Reparametrización por longitud de arco . . . . . . . . . .
1.10. Curvatura y torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11. Fórmulas de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .

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2. Funciones de varias variables a valor real
2.1. Funciones de varias variables a valor real . . . . . .. . .
2.2. Grá…ca de una función de dos variables . . . . . . . . . .
2.3. Límite y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Derivada parcial y plano tangente . . . . . . . . . . . . .
2.4.1. Plano tangente
. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Derivada direccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. La diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1.Aproximación lineal de una función . . . . . . . .
2.6.2. La diferencial total . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3. Diferencial total de una función en nivel constante
2.6.4. Multiplicador de Lagrange . . . . . . . . . . . . .
2.6.5. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7. Derivadas parciales de segundo orden y más . . . . . . .
2.7.1. Aproximación cuadrática de Taylor . . . .. . . .
2.7.2. Máximos y mínimos . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.Integral de funciones de varias variables
3.1. Integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Integral triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Cambio de coordenadas en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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iv

ÍNDICE GENERAL

3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.

3.2.2. Cambio de variable en la integral doble . . . .
Cambio de coordenadas en el espacio . . . . . . . . .
3.3.1. Cambio de variable en la integral triple . . . .
Integral de trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . .
Integral de línea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Parametrizaciones de dos variables con valor vectorial
Integral de super…cie de primer género . . . . . . . .
Integral de super…cie de segundo género . . . . . . . .
3.8.1. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.2. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.3. Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . .

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