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11 Funciones exponenciales
y logarítmicas

INTRODUCCIÓN

RESUMEN DE LA UNIDAD

En esta unidad se estudian dos funciones
que se aplican a numerosas situaciones cotidianas
y, sobre todo, a fenómenos de la Física, la Biología
o la Economía.

• Funciones exponenciales: f (x) = a x,
f (x) = a x + b y f (x) = a(x+b).
• Interés compuesto.
• Cálculo dellogaritmo de un número.
• Propiedades de los logaritmos.
• Función logarítmica : y = loga x.
• Relaciones entre las funciones inversas:
exponencial y logarítmica.

A los alumnos les cuesta diferenciar las funciones
potenciales de las funciones exponenciales e, incluso,
de las funciones logarítmicas, por lo que habrá dedicar
el tiempo necesario a trabajar este aspecto.
Como aplicación de lasfunciones exponenciales
se estudia el interés compuesto.

CONTENIDOS

PROCEDIMIENTOS

1. Reconocer funciones
exponenciales.

• Definición de la función f (x) = a .
• Gráficas y características
de las funciones:
f (x) = a x + b y f (x) = a x+b.

• Estudio de las características
de la función f (x) = a x, si a > 1
o a < 1.
• Construcción de tablas de valores
y las gráficas de:
f (x)= a x + b y f (x) = ax+b

2. Aplicar funciones
exponenciales al interés
compuesto.

• Definición de la función capital
final para el interés compuesto.

• Cálculo del capital final:
t
⎛
r ⎞⎟
⎟⎟
Cf = C ⋅ ⎜⎜⎜1 +
⎝
100 ⎠

3. Calcular logaritmos
y utilizar sus
propiedades.

• Definición del logaritmo de b
en base a.
• Propiedades de los logaritmos.

• Obtención de logaritmos aplicando
la definición.
• Cálculo delogaritmos aplicando
las propiedades.

4. Reconocer funciones
logarítmicas.

• Propiedades de la función
f (x) = loga x.

• Representación de la función
f (x) = loga x.

5. Relacionar funciones
exponenciales
y logarítmicas.

• Comparación
de las funciones inversas:
f (x) = a x y f (x) = loga x.

• Comparación de las gráficas
de las funciones:
f (x) = a x y f (x) = loga x.

x

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ADAPTACIÓN CURRICULAR

OBJETIVOS

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OBJETIVO 1

RECONOCER FUNCIONES EXPONENCIALES

NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Una función exponencial es una función de la forma f (x) = a x o y = a x, donde a es un número real
positivo (a > 0) y distinto de 1 (a 0).
La función exponencial f (x) = a xverifica que:
• f (0) = a0 = 1, y un punto de su gráfica es (0, 1).
• f (1) = a1 = a, y un punto de su gráfica es (1, a).
• La función es creciente si a > 1.
• La función es decreciente si a < 1.

EJEMPLO
Representa las siguientes funciones exponenciales.
⎛1⎞
b) y = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟
⎝2⎠

x

a) y = 2x

Realizamos una tabla de valores, utilizando la calculadora, por ejemplo:
−2

⎛ 1 ⎞⎟
⎜⎜ ⎟ = 1
⎜⎝ 2 ⎟⎠
2

a)

b):

2 = xy

2 = 0,25

⎛ 1 ⎞⎟
⎜⎜ ⎟ = 1
⎜⎝ 2 ⎟⎠

:

2 = xy

±

2=4

x

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

2x

0,0625

0,125

0,25

0,5

1

2

4

8

16

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

16

8

4

2

1

0,5

0,25

0,125

0,0625

x

⎛ 1 ⎞⎟
⎜⎜ ⎟
⎜⎝ 2 ⎟⎠

x

Representamos las funciones sobre los ejes de coordenadas:
Y

a)

b)

Y

⎛1⎞
y = ⎜⎜ ⎟⎟⎟
⎜⎝ 2 ⎟⎠

x

y=2

x

1

1

1

1

X

1

X

Realiza una tabla devalores y representa las funciones exponenciales.
⎛1⎞
b) y = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟
⎝4⎠

x

a) y = 4x
x

y = 4x

⎛1⎞
y = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟
⎝4⎠

x

−2
−1
0
1
2

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• Las funciones y = a x + b son de tipo exponencial. Su gráfica se obtiene trasladando la gráfica de y = a x
en b unidades haciaarriba si b es positivo, y en b unidades hacia abajo si es negativo.
• Las funciones y = a x + b son también de tipo exponencial. Su gráfica se obtiene trasladando la gráfica
de y = a x en b unidades hacia la izquierda si b es positivo, y en b unidades hacia la derecha
si es negativo.

EJEMPLO
Representa, en los mismos ejes que y = 2x, las funciones exponenciales.
a) y = 2x + 3

b) y = 2x − 3...