11 PROBLEMAS DE CURVAS Y INTEGRALES MULTIPLES

1) PROBLEMAS DE PARAMETRIZACION DE CURVAS Y FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES


1. El vector es definido por (t) = (t) (t)

a) Muestre que y son perpendiculares
b) Muestre que y sonperpendiculares
c) Muestre que y son colineales
Sol.
B=TxN
A. Sabiendo que: B.B=1
Derivando ambos miembros

Concluimos que son ortogonales o perpendiculares
B. Sabiendo que: T.B=0 y B.N=0Derivando ambos miembros
…(1)
y
En (1)
Concluimos que son ortogonales o perpendiculares
C. Al ser perpendicular a T y B podemos concluir que son anti paralelos ocolineales a una proporción:
2. Sea (t) = ( sent, t , cost )

a) Halle la ecuación del plano Osculador a la curva en el punto (0,2)
b) Halle la longitud de la curva desde el punto (0,0,1) hasta el punto(0,2)
c) Halle la reparametrizacion de con respecto a la longitud de arco.

Sol.
a) Para hallar el plano osculador necesito un punto de partida y un vector, que en este caso será el vectorBinormal.
(t) = (0,2), entonces t =
El punto seria (0,2)
Calculando el vector Binormal
=
Hallando el vector Tangente:
= ´= =
Ahora hallando el vector Normal:
= ´= =
Entonces
= = ( ,,0) (0,0,-1)= (- ,,0)
Ecuación del plano Osculador es
. = 0
La ecuación será
( + + 0() = 0

b) Según los puntos solo varia en el eje , entonces:
L = = dt =

c) Como me piden reparametrizacion de (t) conrespecto a la longitud de arco, escogemos un t
S = = dt =
t = ,
L=
(u) = oS)(u) = (S(u)), u
(S(u)) = ( sen, cos )
3. Señale desde el punto Q los vectores y ,si el vector está dado por.

Sol.












4. Sea definida por:




A) Dibujar el conjunto de puntos del plano donde f no está definida.
B) Calcular el límite direccional de la función en el origen a lo largo de la curva:C) Estudiar la continuidad y diferenciabilidad de f en el origen.
D) Calcular los valores de y
E) Determinar en el punto P (2,-1) el valor de la derivada en una dirección que forma 60º con el eje...