11

TRILCE

Capítulo

11

ECUACIONES DE
GRADO SUPERIOR

Teorema Fundamental del Álgebra
Toda ecuación polinomial P(x) = 0, donde P(x) es
un polinomio de cualesquiera coeficiente numérico de grado
mayor que la unidad, tiene por lo menos una raíz
generalmente compleja.
Corolario : Toda ecuación polinomial de grado "n" tiene
exactamente "n" raíces.
*

x 2  x  5  0 tiene 2 raíces

*

x7  x  1

x1x 2 x1x 3  x 2x 3  10  5
2
x1x 2x 3    1  1
2
2
Teoremas Adicionales :
1.

Paridad de raíces imaginarias :
Sea P(x) = 0 una ecuación polinomial, donde P(x) es
un polinomio de coeficientes reales, si una raíz de la
ecuación es el número imaginario a+bi, otra raíz será
a-bi.

2.

Paridad de raíces irracionales :
Sea P(x) = 0 una ecuación polinomial, donde P(x) es
un polinomio de coeficientesracionales, si una raíz
de la ecuación es el número irracional :
a  b / a  Q  b  Q' , entonces, otra raíz será :
a b.

tiene 7 raíces

Teorema de Cardano - Viette :
Dada la ecuación polinomial de grado "n", cuya estructura
es :
a o x n  a1x n 1a 2 x n  2  a 3 x n  3  ...  a n  0

si sus raíces son :

x1 ; x 2 ; x 3 ; .....  x n
se cumple :

Ecuación de Tercer Grado : (cúbica)

1.Forma general :

Suma de raíces :

x1  x 2  x 3  ...  x n  
2.

ao

Donde :
x = incógnita, asume tres valores :

Suma de productos binarios :

x1x 2  x1x 3  x 2x 3  ...  x n 1x n 
3.

ax 3  bx 2  cx  d  0 ... (1)

a1

a2
ao

Suma de productos ternarios :
x1x 2 x 3  x1x 2 x 4  ...  x n  2 x n 1x n  

a3

x 3  px  q  0 .... (2)
cuyo discriminante se denota por D y se definesegún la
relación :

ak

3

 p
q
D    
 3
 2

ao

Veamos un ejemplo para la ecuación :
3

Si en la forma general se sustituye "x" por x  b , se obtiene
3a
la siguiente ecuación :

ao

En general, si " s k " representa la suma de los productos de
las raíces tomadas de "k" en "k", se cumple :

s k  (1)k .

a, b, c  d  R / a  0

2

Con lo cual las raíces de (2) se obtienen según :2

2x  5x  10x  1  0
x1  x 2  x 3   5
2

x1  3 

q
q
 D 3  D
2
2

109

Álgebra

x2  3 

q
q
 D .W  3   D .W 2
2
2

Observación : Para resolver una ecuación binomia, se podrá
aplicar algún producto notable, cierto criterio de factorización
o la radicación de los números complejos.

x3  3 

q
q
 D .W 2  3   D .W
2
2

Ecuación Trinomia

3
1
i/i  1
siendo : W   
2
2Observación : Es recomendable utilizar el proceso anterior
siempre y cuando la ecuación dada no pueda resolverse por
factorización.
Ecuación Bicuadrada : Es aquella ecuación polinomial
de cuarto grado que presenta la siguiente forma :
ax 4  bx 2  c  0

Donde :
x = incógnita, asume cuatro valores

a , b  c  R / a  0

Forma general :
ax 2 n  bx n  c  0
Donde :
x = incógnita, asume "2n"valores.
nN / n 2
a  b  c  R / a  0 , b  0  c  0
Observación : Para resolver una ecuación trinomia se
recomienda que, en la forma general, se realice el siguiente
cambio : x n por "y", con lo cual la ecuación sería :

ay 2  by  c  0
Donde los valores de "y" se podrían obtener, según los criterios
vistos en la resolución de una ecuación cuadrática, para
finalmente resolver la siguienteecuación binomia :
xn  y

Teorema del Conjunto Solución
Toda ecuación bicuadrada :
4

2

ax  bx  c  0 , donde "m" y "n" son dos raíces no
simétricas presenta por conjunto solución.
CS = {m, -m, n, -n}

Propiedad de las Raíces : Siendo "m" y "n" las raíces no
simétricas de la ecuación bicuadrada ax 4  bx 2  c  0 , se
cumple :

I.

m 2  n2   b
a

II.

m .n  c
a
2

Ecuación Recíproca : P(x)= 0, será una ecuación recíproca,
si P(x) es un polinomio cuyos coeficientes de sus términos
equidistantes son iguales.
Ejemplos :
*

2x 2  5 x  2  0

*

x3  4x2  4x  1  0

*

5 x 4  2x 3  7 x 2  2x  5  0

*

4 x 5  3x 4  2x 3  2x 2  3 x  4  0

Propiedades :

2

1.

Reconstrucción de la ecuación bicuadrada en "x":
Siendo "m" y "n" las raíces no simétricas, tenemos:
x 4  (m 2 ...