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MATEMÁTICA I

- 2012-

Capítulo 2

CONJUNTOS Y FUNCIONES
Comenzaremos con algunos comentarios generales acerca de las
demostraciones de enunciados matemáticos. Se sugiere que repasen y relean el
apunte de lógica visto en el ingreso.
Las demostraciones:
Los resultados válidos en Matemática son aquellos que se pueden
demostrar.
La manera de hacer demostraciones depende de lo que se quiera demostrary
también de la "forma" del enunciado. Los enunciados son proposiciones, se
afirma algo de todos o de algunos elementos de un conjunto o de un universo
dado.
Si el enunciado a probar es de forma existencial alcanzará en algunos
casos con exhibir un individuo con las características que dice el enunciado o
una manera de construirlo.
Por ejemplo: “Existen números enteros que son primos”
Esteenunciado podemos simbolizarlo como: (∃x) p ( x) , siendo p(x)=”x es primo”
y el Universo los números enteros.
En principio debemos conocer la definición de número primo, un número “a” es
primo si sólo es divisible por 1,-1, a y –a. Alcanza entonces con mostrar que el
número entero “7”, es primo ya que sólo es divisible por 1,-1,7 y -7. El
enunciado afirma que existen primos es decir que al menos hayuno.
Si el enunciado es de forma universal habrá que probar que cada uno de los
elementos del universo cumple con lo afirmado. Si el universo fuera de un
número finito de individuos podríamos analizar que cada uno de ellos verifica lo
enunciado. Si el universo es infinito, habrá que tomar un elemento arbitrario
(NO un ejemplo) del universo del que se habla, y probar que tiene la propiedadenunciada.
Por ejemplo: “Si un número entero es par, su cuadrado es par”
Es un enunciado universal porque afirma algo acerca de todos los elementos del
conjunto de los números enteros.
Podemos simbolizarlo como: (∀x)( p ( x) → q ( x)) , siendo p(x)=”x es par”, q(x)=”x2
es par” y el Universo los números enteros.

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Veremos distintos métodos:
Método directo: Este enunciado tiene la forma de un condicional,es
importante identificar antecedente y consecuente o hipótesis y tesis, para saber
cuándo será verdadero.
Sabemos que un condicional es falso sólo cuando el antecedente es verdadero y
el consecuente falso, partiremos entonces de antecedente verdadero y
tratamos de ver que el consecuente tiene que ser verdadero, es decir que
no se da el caso de antecedente verdadero y consecuente falso, por lotanto la
implicación será verdadera y queda probado el enunciado.
En este caso el antecedente es “x es par” y el consecuente “x2 es par ”
Tomamos entonces un entero par cualquiera, es decir que podemos tomar un
número x, tal que x=2k, siendo k un entero.
Tenemos que ver que si lo elevamos al cuadrado también es par.
x2 =(2k) 2 entonces x2 =2k.2k, o equivalentemente x2 =2(k2k), siendo k2k un
númeroentero, por lo tanto x2 es par.
De esta forma queda demostrado.
Método del absurdo: Esto consiste en suponer que el enunciado es falso y
llegar a un absurdo. Cuando el enunciado tiene la forma de un condicional,
suponer que es falso, es negar el condicional. Recordemos que
¬( p → q ) ⇔ p ∧ ¬q , es decir que negar el condicional es suponer que tanto el
antecedente como la negación del consecuentepueden ser verdaderas.
Al llegar a un absurdo decimos entonces que lo que supusimos era falso y por lo
tanto el condicional es verdadero.

Volviendo al ejemplo, demostrar por el método del absurdo sería suponer que :
“x es par” y “x2 no es par ”
Esto implicaría que x=2k

y x2 =2t+1 (ya que si no es par, es impar)

Pero entonces x2 = (2k)2 y además x2 =2t+1, esto implica que x2 = 2(k2k) y
x2 =2t+1 ,es decir que x2 es par e impar, ABSURDO.
El absurdo proviene de suponer que el enunciado era falso, por lo tanto la
implicación es verdadera.
Método indirecto o de contrarrecíproco: En realidad es hacer el método directo
a la proposición contrarrecíproca de lo que se quiere demostrar. Pues ya se ha
probado que un condicional y su contrarrecíproca son equivalentes. Es decir que:
p → q ⇔ ¬q → ¬p...