119970 33763 Matricesydeterminantes1

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA
FACULTAD DE C. NAT, MATEMÁTICAS Y DEL M. AMB.
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

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MATRICES YDETERMINANTES
Curso: Matemáticas III
1.-

a) Encuentre la matriz M = (m i j Ñ

Ð $, 4)

definida por:

T

b) Halle, si es posible, M † M
T
c) Halle, si es posible, ( M † M )#
2.-

"
Dadas las matrices A =Œ
?"

Ú
Ý 2i - 3j si i > j
j-1
si i = j
mi j = Û i
Ý 3i - 2j
Ü j + i si i < j

Î "
$
?"
ß B=
"9
Ï $

!
?#

#Ñ
%
! ß C=Œ
?
"
"Ò

$
#9

Determine:
a) T

T

T

b) 2A † A ? B † B

c) LaMatriz X tal que: 2ŠA † B ? X ‹ = C2
T

3.-

Considere las matrices:
A=Œ

y -3
,
2 3z 9

B=Œ

E=Œ

p+1
p2 +p

p-1
T
Sabiendo que A † B = C y calculando previamente los
9
(p+1)(p-1) - p

1
0

0
"
3

5
9,C = Π-1

2
p
, D=Œ
!
69

valores de "y" y de "z", determine la matriz X tal que:
4.-

Sea A = Œ

1
5

1
2

-1
,
!9

y-4
” Œ y-3

z-4
? X• = D † E
z-2 9

3
39

a) Si f(x) = x3 - 3x# - 2x + 4I.Hallar: f(A)
b) Si g(x) = x2 - x - f(x). Hallar g(A), f(x) definida en A.
x
c) Hallar un vector columna U = Œ 9 distinto de cero, tal que: A † U = 6U, si existe
y
5.-

?"
Considere las matrices: A = Œ
?#$
!

#
?"
ß B=Œ
9
"
#

Î a
a) Los valores de "a", "b" y "c" de modo que : -3
Ï 0

#
. Determine
? "9

0Ñ
T
b = (B † A)
cÒ

b) Usando los valores de a, b, c calculados anteriormente, la matriz X quesatisface la ecuación:
5-b
T
2Œ A † A + Œ
5+a
6.-

2
T
? X 9 = 2 † B † IÐ#Ñ
9
c-4

Se dice que una matriz cuadrada A es Involutiva si y solo si A2 = I y es Idempotente si A2 = A .
a) Encontrar A = (ai j)Ð2,2) Á I(2) que sea involutiva.
b) Encontrar A = (ai j )Ð2,2) Á I(2) que sea Idempotente.

7.-

Demostrar, usando propiedades:
a) El producto de dos matrices simétricas, en general no es una matrizsimétrica.
b) El producto de una matriz por su transpuesta, es una matriz simétrica.
c) Si AB = A y BA = B, las matrices A y B son idempotentes

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