11Figuras Semejantes
Páginas: 11 (2677 palabras)
Publicado: 18 de agosto de 2015
´N
ACTIVIDADES DE AMPLIACIO
6
Figuras semejantes. Teorema de Tales
1.
La base y la altura de un recta
´ngulo miden, respectivamente, 12 y 8 cm. Sabemos que otro recta
´ngulo semejante
al dado tiene un ´area de 54 cm2. ¿Cua´nto miden los lados del segundo recta
´ngulo?
2.
Si incrementamos un 20% la longitud de cada uno de los lados de un tria
´ngulo cualquiera obtenemos un nuevo
tria
´ngulo.Averigua si ambos tria
´ngulos son semejantes y halla, en su caso, la razo´n de semejanza.
3.
En un tria
´ngulo cualquiera unimos los puntos medios de los lados, forma
´ndose cuatro tria
´ngulos. Demuestra que los cuatro son iguales y, a su vez, semejantes al tria
´ngulo inicial. Halla la razo´n de semejanza.
4.
Determina, utilizando los criterios de semejanza, en que´ casos son semejanteslos siguientes tria
´ngulos:
a) ABC y DEF
b) ABC y DBE
C
C
F
5.
D
B
C
E
A
A
c) ABC y ACD
D
B
A
D
B
E
Las bases de un trapecio iso´sceles miden 20 y 30 cm, respectivamente, y los lados iguales, 6 cm. Si prolongamos
dichos lados hasta que se corten obtenemos un tria
´ngulo.
a) ¿Que´ tipo de tria
´ngulo es?
b) ¿Cua
´nto miden los lados de este tria
´ngulo?
6.
Calcula las dimensiones deun recta
´ngulo cuya diagonal mide 10 cm, sabiendo que es semejante a otro recta
´ngulo cuya base mide 4 cm y su altura 3 cm.
7.
Consideramos un recta
´ngulo. Trazando un segmento paralelo al lado menor, lo
dividimos en un cuadrado y otro recta
´ngulo como muestra la figura.
¿En que´ condiciones los recta
´ngulos ABCD y EBCF son semejantes?
Halla, en su caso, la razo´n de semejanza. ¿Sabesco´mo se llama este resultado?
A
E
B
D
F
C
8.
Divide gra´ficamente un segmento AB de 60 mm de longitud en dos partes que sean proporcionales a dos
segmentos de longitudes 3 y 7 cm, respectivamente.
9.
Dados tres segmentos de longitudes a, b y c, respectivamente, se llama cuarto proporcional a los tres a un
a
c
segmento de longitud x que verifica la proporcio´n ϭ . Halla gra´ficamente elsegmento cuarto proporcional
b
x
a los segmentos de longitud a ϭ 2 cm, b ϭ 2,5 cm y c ϭ 3 cm.
10.
Dados dos segmentos de longitudes a y b, respectivamente, se llama tercero proporcional a los dados a un
a
b
segmento de longitud x que verifica la proporcio´n ϭ . Explica co´mo se halla gra´ficamente el segmento
b
x
tercero proporcional a los segmentos de longitud a ϭ 10 mm y b ϭ 16 mm.
Algoritmo 4.oESO - Opcio´n B
Actividades de ampliacio
´n
SOLUCIONES
1.
Ά
12
8
ϭ
x
y
xy ϭ 54
x 2 ϭ 81
yϭ
2x
3
7.
2x 2
ϭ 54
3
x ϭ 9 m, y ϭ 6 cm
2.
Si los lados del primer tria
´ngulo miden a, b y c,
los del segundo medira
´n 1,2a, 1,2b y 1,2c, con lo
a
b
c
5
que
ϭ
ϭ
ϭ
son tria
´ngulos se1,2a
1,2b
1,2c
6
5
mejantes, y la razo´n de semejanza es .
6
3.
En los cuatro tria
´ngulos los lados miden lomismo,
la mitad de cada uno de los lados del tria
´ngulo
inicial y, por el teorema de Tales, los ´angulos tambie´n son iguales, luego los cuatro tria
´ngulos son
iguales. Adema
´s, son proporcionales al tria
´ngulo
dado por la misma razo´n, los ´angulos son iguales,
1
siendo la razo´n de semejanza .
2
4.
a) Los tria
´ngulos ABC y DEF tienen los lados paralelos, por lo que los ´anguloscorrespondientes
son iguales. Por tanto, son tria
´ngulos semejantes.
b) Los tria
´ngulos ABC y DBE tienen un ´angulo
comu
´n, Bp , y otro igual, Ep ϭ Cp ϭ 90Њ. Por
tanto, son tria
´ngulos semejantes.
c) Los tria
´ngulos recta
´ngulos ABC y ACD tienen
un a´ngulo comu
´n, Ap, y otro igual, Dp ϭ Cp ϭ 90Њ.
Por tanto, son tria
´ngulos semejantes.
5.
6.
6 cm
a) Iso´sceles, ya que dos
D
´ngulos Dp , Ep , son
aiguales.
A
b) Los tria
´ngulos ABC y
DEC son semejantes,
luego:
AC
BC
AB
ϭ
ϭ
;
DC
EC
DE
6 ϩ DC
6 ϩ EC
30
ϭ
ϭ
DC
EC
20
DC ϭ EC ϭ 12 cm
Ά
8.
30 cm
D
3 cm
9.
2
3
ϭ
2,5
x
D'
6 cm
6–x
B
x ϭ 3,75 cm
Para resolverlo gra
´ficamente, trazamos dos semirrectas de origen A y sobre una de ellas se llevan
consecutivamente los segmentos a y c, y sobre la
otra el segmento b; uniendo los extremos...
ACTIVIDADES DE AMPLIACIO
6
Figuras semejantes. Teorema de Tales
1.
La base y la altura de un recta
´ngulo miden, respectivamente, 12 y 8 cm. Sabemos que otro recta
´ngulo semejante
al dado tiene un ´area de 54 cm2. ¿Cua´nto miden los lados del segundo recta
´ngulo?
2.
Si incrementamos un 20% la longitud de cada uno de los lados de un tria
´ngulo cualquiera obtenemos un nuevo
tria
´ngulo.Averigua si ambos tria
´ngulos son semejantes y halla, en su caso, la razo´n de semejanza.
3.
En un tria
´ngulo cualquiera unimos los puntos medios de los lados, forma
´ndose cuatro tria
´ngulos. Demuestra que los cuatro son iguales y, a su vez, semejantes al tria
´ngulo inicial. Halla la razo´n de semejanza.
4.
Determina, utilizando los criterios de semejanza, en que´ casos son semejanteslos siguientes tria
´ngulos:
a) ABC y DEF
b) ABC y DBE
C
C
F
5.
D
B
C
E
A
A
c) ABC y ACD
D
B
A
D
B
E
Las bases de un trapecio iso´sceles miden 20 y 30 cm, respectivamente, y los lados iguales, 6 cm. Si prolongamos
dichos lados hasta que se corten obtenemos un tria
´ngulo.
a) ¿Que´ tipo de tria
´ngulo es?
b) ¿Cua
´nto miden los lados de este tria
´ngulo?
6.
Calcula las dimensiones deun recta
´ngulo cuya diagonal mide 10 cm, sabiendo que es semejante a otro recta
´ngulo cuya base mide 4 cm y su altura 3 cm.
7.
Consideramos un recta
´ngulo. Trazando un segmento paralelo al lado menor, lo
dividimos en un cuadrado y otro recta
´ngulo como muestra la figura.
¿En que´ condiciones los recta
´ngulos ABCD y EBCF son semejantes?
Halla, en su caso, la razo´n de semejanza. ¿Sabesco´mo se llama este resultado?
A
E
B
D
F
C
8.
Divide gra´ficamente un segmento AB de 60 mm de longitud en dos partes que sean proporcionales a dos
segmentos de longitudes 3 y 7 cm, respectivamente.
9.
Dados tres segmentos de longitudes a, b y c, respectivamente, se llama cuarto proporcional a los tres a un
a
c
segmento de longitud x que verifica la proporcio´n ϭ . Halla gra´ficamente elsegmento cuarto proporcional
b
x
a los segmentos de longitud a ϭ 2 cm, b ϭ 2,5 cm y c ϭ 3 cm.
10.
Dados dos segmentos de longitudes a y b, respectivamente, se llama tercero proporcional a los dados a un
a
b
segmento de longitud x que verifica la proporcio´n ϭ . Explica co´mo se halla gra´ficamente el segmento
b
x
tercero proporcional a los segmentos de longitud a ϭ 10 mm y b ϭ 16 mm.
Algoritmo 4.oESO - Opcio´n B
Actividades de ampliacio
´n
SOLUCIONES
1.
Ά
12
8
ϭ
x
y
xy ϭ 54
x 2 ϭ 81
yϭ
2x
3
7.
2x 2
ϭ 54
3
x ϭ 9 m, y ϭ 6 cm
2.
Si los lados del primer tria
´ngulo miden a, b y c,
los del segundo medira
´n 1,2a, 1,2b y 1,2c, con lo
a
b
c
5
que
ϭ
ϭ
ϭ
son tria
´ngulos se1,2a
1,2b
1,2c
6
5
mejantes, y la razo´n de semejanza es .
6
3.
En los cuatro tria
´ngulos los lados miden lomismo,
la mitad de cada uno de los lados del tria
´ngulo
inicial y, por el teorema de Tales, los ´angulos tambie´n son iguales, luego los cuatro tria
´ngulos son
iguales. Adema
´s, son proporcionales al tria
´ngulo
dado por la misma razo´n, los ´angulos son iguales,
1
siendo la razo´n de semejanza .
2
4.
a) Los tria
´ngulos ABC y DEF tienen los lados paralelos, por lo que los ´anguloscorrespondientes
son iguales. Por tanto, son tria
´ngulos semejantes.
b) Los tria
´ngulos ABC y DBE tienen un ´angulo
comu
´n, Bp , y otro igual, Ep ϭ Cp ϭ 90Њ. Por
tanto, son tria
´ngulos semejantes.
c) Los tria
´ngulos recta
´ngulos ABC y ACD tienen
un a´ngulo comu
´n, Ap, y otro igual, Dp ϭ Cp ϭ 90Њ.
Por tanto, son tria
´ngulos semejantes.
5.
6.
6 cm
a) Iso´sceles, ya que dos
D
´ngulos Dp , Ep , son
aiguales.
A
b) Los tria
´ngulos ABC y
DEC son semejantes,
luego:
AC
BC
AB
ϭ
ϭ
;
DC
EC
DE
6 ϩ DC
6 ϩ EC
30
ϭ
ϭ
DC
EC
20
DC ϭ EC ϭ 12 cm
Ά
8.
30 cm
D
3 cm
9.
2
3
ϭ
2,5
x
D'
6 cm
6–x
B
x ϭ 3,75 cm
Para resolverlo gra
´ficamente, trazamos dos semirrectas de origen A y sobre una de ellas se llevan
consecutivamente los segmentos a y c, y sobre la
otra el segmento b; uniendo los extremos...
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