12 Polinomios Ceros

I. POLINOMIOS Y SUS CEROS
DEF 1.- Un polinomio de grado n tiene la forma:
P( x)

an x n

an 1 x n

Siendo a0 , a1 , a2 ,..., an números reales y an

1

... a2 x 2 a1 x a0

0

DEF 2.- El valor numérico de un polinomio P(x) para x = a, es el resultado que se obtiene al sustituir
x por a, y realizar las operaciones indicadas.

DEF 3.- Un número “r” es un cero de un polinomio P(x) si: P(r) = 0 .
Uncero de un polinomio también se llama raíz de la ecuación P(x) = 0
1.1 RESULTADO 1 .- Un numero “r” es un cero de un polinomio P(x) si y solo sí P(x) tiene un
factor de la forma (x-r) . El número de tales factores se llama multiplicidad del cero
1.2 RESULTADO 2.- Un cero “r” de un polinomio P(x) se dice que tiene multiplicidad “m” si
existe un polinomio Q(x) tal que:
P( x) ( x r ) m .Q( x)

y Q( r)

0

Un cero de multiplicidad m=1 se llama “simple” ; si m=2 se llama “doble” y si m=3
“triple”...
P1.- Sea p(x) = 4x4 + 10 x3 + 19x + 5. Hallar p(-3)
P2.- Hallar “k”, sabiendo que – 2 es raíz de P(x) = 5x4 – 7x3 + 11x + k
P3 . Si P(x) = x5 – 10x3 + 7x + 6; encontrar P(3); ¿es (x – 3) factor de P(x)?

II. POLINOMIOS DE GRADO 2 ( Cuadráticos)
Hay algunos resultados acerca de los polinomios degrado 2 P(x)=ax2+bx+c
2.1 RESULTADO 3.- Si r1 y r2 son ceros o raíces del polinomio P(x) = ax2+bx+c. Entonces:
b
c
(r1 r2 ) y
r1 r2
a
a
Además el polinomio P(x) se puede descomponer en factores de la forma:
P( x) a( x r1 ).( x r2 )

2.2 RESULTADO 4.- En el caso particular de P(x) = x2+bx+c. Entonces
b
(r1 r2 ) y
c r1 r2

EJ RES.- Si ( x 2)( x b) x 2 cx 6 ¿Cuanto vale c?
SOL: Los factores del primermiembro señalan que -2 y –b son raíces del polinomio
luego por el resultado 4
-2 .(-b) = 6 y por tanto b = 3
-((-2)+(-b)) = c
c=5

P4.- El polinomio x2 – 9x +3 tiene raíces r y s. Si x2 +bx +c tiene raíces r2 y s2 .¿Cuanto valen b
y c?
P5.- Un antiguo manuscrito señalaba que el polinomio x2 +bx +30 tiene dos raíces enteras. Pero
es imposible leer el valor del entero positivo b ¿Cuantasposibilidades haya para b?
P6,- Sean d y e las soluciones de la ecuación 2x2+3x+5=0 ¿Cuanto vale (d-1).(e-1) ?
P7.- Si r y s son las raíces de la ecuación x2-6x+2=0 , entonces
a) -3

b) 3

c) -6

1
r

d) 6

1
es igual a:
s
e) 2

2.3 RESULTADO 5.- El número de raíces del polinomio P(x) = ax2+bx+c depende del valor del
b 2 4ac , de tal forma que:
discriminante
b 2 4ac > 0 Hay dos raíces reales distintas
- Si
b2 4ac = 0 Hay una raíz real (doble)
- Si
b 2 4ac < 0 No tiene raíces reales
- Si
EJ RES.- ¿Para que valores de “a” la ecuación ax2 +2x+1 = 0 no tiene raíces reales?
b 2 4ac <0 ; 22 – 4a.1<0 ; 4-4a<0 ; a >1 a debe ser mayor que 1
SOL:

III. POLINOMIOS DE CUALQUIER GRADO
3.1 ALGORITMO DE LA DIVISIÓN
Dados dos polinomios P(x) y Q(x), existen dos polinomios únicos S(x) y R(x) tales que:
P( x) Q( x).S( x) R( x)

con R( x) 0 ó grd ( R( x))

grd (Q( x))

Se dice que Q divide a P (o que P es divisible por Q) si el resto de la división R(x) = 0

Teoremas del resto y del factor
3.2 TEOREMA EL RESTO.
El valor numérico del polinomio P(x) para x = a es igual al resto de la división P(x) : (x a). Es
decir existe un polinomio Q(x) de grado una unidad inferior al grado de P(x) que cumple:
P ( x) ( x a).Q ( x ) P (a )

3.3 TEOREMA DEL FACTOR.
(x a) es un factor del polinomio P(x)
x = a es una raíz de P(x)
P(a)=0
- Las raíces de un polinomio son las soluciones de la ecuación P(x) = 0.
- Si conocemos que x1, x2 y x3 son las raíces de P(x), entonces el polinomio es de la forma
P(x) = c(x x1)(x x2)(x x3), siendo c una constante.

RESUMIENDO: x = a es una raíz de P(x)
P(a) = 0
(x a) es un factor deP(x)
P(x) = (x a) · Q(x), siendo Q(x) de un grado menor que P(x).
EJ RES.- Cuando dividimos el polinomio P(x) entre (x -19) , obtenemos de resto 99 y
cuando lo dividimos entre (x – 99) obtenemos resto 19 ¿Cuál es el resto de la división de P(x)
entre
(x-19).(x-99)?
SOL: Por el algoritmo de la división : P(x) = (x-19).(x-99).Q(x) + (ax+b)
Además por el teorema del resto P(19) = 99 P(99) = 19 ;...