12 Sol Bal

12

INICIACIÓ AL CÀLCUL
DE DERIVADES.
APLICACIONS

Pàgina 301
REFLEXIONA I RESOL
Pujar a un autobús en marxa
A la gràfica següent, la línia vermella representa el moviment d’un autobús que
arrenca de la parada i, a poc a poc, guanya velocitat.

① i ② corresponen a passatgers que arriben tard i corren per a pujar a l’autobús en marxa.

50 m

2
1

5s

10 s

15 s

20 s

a) Al viatger ② l’acosten enbicicleta. Descriu-ne el moviment i troba la velocitat a
la qual corre.
b) Quina és la velocitat aproximada de l’autobús en el moment que l’atrapa el
passatger ②?
Entra aquest passatger suaument a l’autobús?
a) El pasajero 2 llega a la parada 10 s después de que saliera el autobús, y lo alcanza 5 s
después, 40 m más allá.
Corrió, por tanto, a

40
= 8 m/s. Es decir: 8 · 3,6 = 28,8 km/h
5

b) En elinstante 14 s está a 35 m de la parada. En el instante 16 s está a 50 m de la
parada.
Velocidad media =

15 m
= 7,5 m/s = 27 km/h
2s

Las velocidades del pasajero 2 y del autobús son, aproximadamente, iguales en el momento en el que el pasajero accede al autobús; por tanto, accederá suavemente.

Unitat 12. Iniciació al càlcul de derivades. Aplicacions

1

És preferible esperar o córrer rerel’autobús?
Els viatgers ③ i ④, en el moment de la sortida de l’autobús, eren a 100 m de la
parada. El ③ decideix esperar-lo i entrar en ell quan passi per allà.
El ④ té un estrany comportament. Estrany?
100 m

3

4

50 m

5s

10 s

15 s

20 s

a) Descriu el moviment del passatger ④.
b) Explica per què el comportament del passatger ④ és molt més sensat que el
del ③, el qual tendrà molt difícil la pujada al’autobús.
a) Intenta alcanzar aproximadamente la velocidad que lleva el autobús para acceder a él
suavemente.
b) El pasajero 4 accede suavemente al autobús (con la misma velocidad, aproximadamente); sin embargo, el 3 no.

Carrera de relleus
La gràfica següent reflecteix el comportament de dos atletes, del mateix equip,
durant una carrera de relleus:
a) Per què a les carreres de relleus de 4 Ò100 m cada rellevista comença a córrer
abans que arribi el seu company?
b) Què passaria si esperàs aturat l’arribada de
l’altre?

2n rellevista

c) És raonable que les gràfiques dels moviments siguin tangents?
Com són les velocitats en el moment del lliurament del “testimoni”?

1r rellevista

a) Para que el “testigo” pase sin brusquedades del que llega al que se va.
b) El intercambio sería muybrusco y se perdería tiempo.
c) Sí, así llevarán los dos la misma velocidad, aproximadamente.

2

Unitat 12. Iniciació al càlcul de derivades. Aplicacions

UNITAT 12

Pàgina 303
1. Troba la TVM de la funció y = x 2 – 8x + 12 en els intervals següents:
[1, 2], [1, 3], [1, 4], [1, 5], [1, 6], [1, 7], [1, 8]
T.V.M. [1, 2] =

f (2) – f (1)
0–5
=
= –5
1
2–1

T.V.M. [1, 3] =

f (3) – f (1)
–3 – 5
=
= –4
23–1

T.V.M. [1, 4] =

f (4) – f (1)
–4 – 5
=
= –3
3
4–1

T.V.M. [1, 5] =

f (5) – f (1)
–3 – 5
=
= –2
4
5–1

T.V.M. [1, 6] =

f (6) – f (1)
0–5
=
= –1
5
6–1

T.V.M. [1, 7] =

f (7) – f (1)
5–5
=
=0
6
7–1

T.V.M. [1, 8] =

f (8) – f (1)
12 – 5
=
=1
7
8–1

2. Troba la TVM de y = x 2 – 8x + 12 a l’interval variable [1, 1 + h]. Comprova que,
donant a h els valors adequats, s’obtenen els resultats del’exercici anterior.
2
f (1 + h) – f (1)
T.V.M. [1, 1 + h] =
= (1 + h) – 8 (1 + h) + 12 – 5 =
h
h
2
h (h – 6)
= h – 6h =
=h–6
h
h

Dando a h los valores 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 se obtienen los resultados del ejercicio
anterior.

Pàgina 305
1. Troba la derivada de y = 5x – x 2 en els punts d’abscisses 4 i 5.
f ' (4) = lím

h80

2
f (4 + h) – f (4)
= lím 5 (4 + h) – (4 + h) – 4 =
h
h
h80

2
2
h (–h – 3)
= lím20 + 5h – 16 – h – 8h – 4 = lím –h – 3h = lím
=
h
h
h
h80
h80
h80

= lím (–h – 3) = –3
h80

f ' (5) = lím

h80

= lím

h80

2
f (5 + h) – f (5)
= lím 5 (5 + h) – (5 + h) – 0 =
h
h
h80

(5 + h) (5 – 5 – h)
= lím (–5 – h) = –5
h
h80

Unitat 12. Iniciació al càlcul de derivades. Aplicacions

3

2. Troba la derivada de y =

f (1 + h) – f (1)
[3/(1 + h – 2)] – (–3)
= lím
=
h
h
h80

f ' (1) =...