1221 Variable Aleatoria CLASE2012

VARIABLE ALEATORIA


Se llama variable aleatoria (v.a.) a la función X, que asigna a cada elemento del espacio muestral Ω , uno y solo un número real x, tal que x = X (ω).

X : Ω R

Dominio de X = DX = 
Rango de X = RX  Reales

Si recordamos que la probabilidad P, es una función cuyo dominio es Ω y su rango es el intervalo real 0,1; entonces se identifica que,

X: Ω R y P : R 0,1

Clases: v. a. discretas y v. a. continuas.

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

La v.a. X se llama DISCRETA, si su rango Rx es un conjunto numerable (finito o infinito). Generalmente valores enteros.

Ejemplo 1:
Sea el experimento ε: Lanzar una moneda 3 veces, en el cual nos interesa el número de sellos que aparezcan.


Solución:

Ω = ccc, ccs,csc, scc, css, scs, ssc, sss

Nuestro interés en v.a. X : Número de sellos en Ω.

Aplicando la v.a. X a cada suceso, se tiene:
X (ccc) = 0
X (ccs) = X (csc) = X (scc) = 1
X (css) = X (scs) = X (ssc) = 2
X (sss) = 3

Recorrido de la v.a. X : RX =  0, 1, 2, 3 ;
es decir, RX =  x1 , x2 , x3 , x4 

Las probabilidades de cada xi , son:

P(o) = P ( X = 0 ) = P ( ccc) = 1/8

P(1) = P ( X = 1 ) = P ( ccs ) + P (csc ) + P ( scc )
= 3/8

P(2) = P ( X = 2 ) = P ( css ) + P ( scs ) + P ( ssc )
= 3/8

P(3) = P ( X = 3 ) = P ( sss ) = 1/8


1. Función de Probabilidad ó Función de CUANTÍA

Sea X una v.a. discreta con recorrido Rx. Se llama función de CUANTÍA de la v.a X, a la función p(x) definida por:

p ( x ) = P ( X = x ) =  P (ωi ) ; paratodo ωi tal que X(ωi) = x .
Donde, los x son números reales y los ωi   ; y cumple las siguientes condiciones:
a) p (xi)  0 ;  xi  Rx
b)  p ( xi ) = 1 ;  xi  Rx
c) p (x) = P  X = x  = 0 ; si y solo si x  Rx,

Ejemplo 2:
Retomemos el Ejemplo 1 de v.a. donde, ε : Lanzar 3 monedas consecutivamente, la v.a. X : Nº de sellos ; y Rx = 0, 1, 2, 3.Solución:

La FUNCIÓN DE CUANTÍA queda expresada por:

1/8 ; x = 0
3/8 ; x = 1
p (x) = 3/8 ; x = 2
1/8 ; x = 3
0 ; otros puntos


PRESENTACION TABULAR de la función de cuantía,

x = Rx
p ( x ) = P ( X = x )
0
1/8
1
3/8
2
3/8
3
1/8
Total
1


GRÁFICA de la función de cuantía,
…







2. Función de Distribución o Acumulativa:

Sea X una v.a. discreta, con Rx = x1, x2, ... xn , con función de cuantía p( xi ) = P ( X = xi ); y sea x un número real cualquiera, la función de distribución acumulativa de X, se denota y define:

F(x) = P  X  x  = p(xi)


Ejemplo 3:
En el experimento de lanzar 3 monedas, donde el número de sellos es nuestro interés, calcule la función de distribución y su gráfica.

Solución

1/8 ; x = 0
3/8 ; x = 1p (x) = 3/8 ; x = 2
1/8 ; x = 3
0 ; otros puntos

Busquemos F( x ) = P( X  x ) = ? , donde x  R


i. Si tomamos un x  0,
F(x) = p(x) = 0

ii. Si x está en 0  x  1,
F(x) = p(x) = p(0) = 1/8

iii. Si tomamos 1  x  2,
F(x) = p(x) = p(0) + p(1) = 4/8

iv. Si elegimos a x dentro de 2  x  3,
F(x) = p(x) =p(0) + p(1) + p(2) = 7/8

v. Si x  3,
F(x) = p(x) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3) = 1

Luego,

0 ; x < 0
1/8 ; 0  x < 1
F(x) = P  X  x  = 4/8 ; 1  x < 2
7/8 ; 2  x < 3
1 ; x  3

Presentación Tabular de F(x),

x
p(x)
F(x) = P(Xx)
0
1/8
1/8
1
3/8
4/8
2
3/8
7/8
3
1/8
1
Total
1
-Gráfica de F(x),
…

PROPIEDADES DE F(X), en X v.a. DISCRETA

0  F (x)  1 ;  x  R

F(x) es una función escalonada no decreciente. Si x1  x2  ...  xn ;

F(x1)  F(x2)  ...  F(xn)

limx   F(x) = P (X  ) = 1 ; (R =  x / x   ) ; F() = 1

limx -  F(x) = P (X  -  ) = 0 ; ( = x /x  - ) ; F(- ) = 0

Para calcular probabilidades utilizando F(x),

P...