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Test de Kolmogorov-Smirnov
Patricia Kisbye
FaMAF

3 de junio, 2010

Test de Kolmogorov-Smirnov

El test chi-cuadrado en el caso continuo H0 : Las v.a. Y1 , Y2 , . . . , Yn tienendistribución continua F . Particionar el rango de Y = Yj en k intervalos distintos: [y0 , y1 ), [y1 , y2 ), . . . , [yk −1 , yk ),
d d d Considerar las n v.a. discretizadas Y1 , Y2 , . . . , Yn dadas por

Yjd= i

si Yi ∈ [yj−1 , yj ). i = 1, . . . , k .

La hipótesis nula es entonces H0 ) P(Yjd = i) = F (yi ) − F (yi−1 ),

Proceder ahora como en el caso discreto.

Test de Kolmogorov SmirnovInconveniente: No es sencillo construir los intervalos a partir de las probabilidades. Se pierde información al agrupar los datos en intervalos. Aconsejable: Utilizar el test de Kolmogorov-Smirnov. Testde Kolmogorov Smirnov Compara las funciones de distribución empírica de la muestra y la que se desea contrastar. Es aplicable a distribuciones continuas. Para distribuciones discretas, los valorescríticos no están tabulados. Para distribuciones continuas, los valores críticos están tabulados para:
distribuciones con parámetros especificados, algunas distribuciones con parámetros no especificados(normal, Weibull, gamma, exponencial).

Aplicación del test K-S

Observar Y1 , Y2 , . . . , Yn y considerar la distribución empírica Fe (x) = #{i | Yi ≤ x} . n

Fe (x): proporción de valoresobservados menores o iguales a x. Hipótesis nula: Fe (x) es “cercana” a F (x). Estadístico de Kolmogorov-Smirnov D ≡ max |Fe (x) − F (x)| ,
x

−∞ < x < ∞.

Implementación
Ordenar los datosobservados Y1 = y1 , Y2 = y2 , . . . , Yn = yn en orden creciente: y(j) = j − ésimo valor más pequeño y(1) < y(2) < · · · < y(n) . Por ejemplo: y1 = 3, y2 = 5, y3 = 1 y n = 3, entonces y(1) = 1, y(2) = 3, y(3)= 5.  0   1  n    . . . Distribución empírica ⇒ Fe (x) = j n   . .  .    1

x < y(1) y(1) ≤ x < y(2) y(j) ≤ x < y(j+1) y(n) ≤ x

Gráficamente
1

F (x)

y(1)...