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El teorema de Newton y coeficientes multinomiales
Finalmente, existe una tercera forma de definir los coeficientes binomiales, la cual da origen a su nombre. Sin embargo, esta definición obscureceel significado combinatorio de los números, pues la equivalencia con las definiciones anteriores no es evidente.

El coeficiente binomial es el coeficiente del término obtenido al desarrollar |Por ejemplo, si desarrollamos (x+y)5 obtenemos:
(x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5,
por tanto, al ser 10 el coeficiente de x³y², concluimos que C(5,3)=10.
La afirmación de que estadefinición es equivalente a las anteriores se conoce como teorema binomial o teorema de Newton, quien dio una prueba de una versión general del resultado. Sin embargo, la forma de calcular loscoeficientes era conocida por diversas culturas con muchos siglos de anticipación.
Para ilustrar la equivalencia entre esta definición y la anterior, consideremos un ejemplo con n=3, k=2. Podemos pensar quelos factores de (x+y)³=(x+y)(x+y)(x+y) están coloreados de azul, rojo y verde respectivamente.
Por un lado, se sabe que (x+y)³ = x³+3x²y+3xy²+y³, por lo que el coeficiente de x²y es 3. Por otro lado,al desarrollar los factores, aparecerá un término x²y cada vez que se elija dos colores para x (dejando el color restante para y). El número de formas de escoger 2 colores entre 3 posibles opciones esprecisamente C(3,2), como se estableció con anterioridad. La conclusión es que el coeficiente de x²y es necesariamente C(3,2).
Para el caso general, se puede imaginar que los n factores de (x+y)nhan sido coloreados con diferentes colores, por lo que el coeficiente de xkyn-k será igual al número de formas de escoger k colores para asignarlos a la variable x (dejando los n-k colores restantespara y). El número de formas para escoger k colores entre n posibles opciones es C(n,k), con lo que se termina la prueba.
En contextos más técnicos, suele usarse una forma diferente de expresar el...