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• CÓNICAS DEGENERADAS
Las cónicas propiamente dichas son las que ya se han descrito: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola. Sin embargo, desde un punto de vista matemático conviene a veces considerar como cónicas las figuras que se obtienen al cortar la superficie cónica mediante planos que pasan por su vértice. A estas figuras se les llama cónicas degeneradas. Según esto, una recta, unpar de rectas, o incluso un punto, serían cónicas degeneradas.
• EXPRESIÓN ANALÍTICA DE LAS CÓNICAS
Desde un punto de vista analítico se puede definir cónica como la curva que responde a una ecuación del tipo:
Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0
Los valores que toman A, B, C, D, E y F, determinan el tipo de la cónica y su posición en el plano. Permitiendo que dichos coeficientes tomen valorescualesquiera, además de los cuatro tipos de cónicas, se obtienen cónicas degeneradas e incluso cónicas imaginarias
Elipse
Es una de las cónicas. Se trata de una curva cerrada que se obtiene al cortar una superficie cónica de eje e y ángulo amediante un plano, , que no pasa por el vértice y que corta a e bajo un ángulo b mayor que a, pero menor de 90º (a < b < 90º).

Si a es próximo a cero seobtiene una elipse poco excéntrica. Si a es próximo a uno se obtiene una elipse muy excéntrica. La elipse puede definirse como lugar geométrico del siguiente modo: dados dos puntos fijos, F y F', llamados focos, y un número fijo k,
, la elipse es el lugar geométrico de los puntos, P, del plano cuya suma de distancias a F y F' es igual a k:


; d1 + d2 = k.
Esta forma de definir una elipsepermite dibujarla mediante el llamado “método del jardinero”: se colocan dos alfileres en la posición de los focos y se ata a ambos un hilo cuya longitud sea igual a k. Con un lápiz situado de modo que mantenga tenso el hilo, se recorre la elipse.
Además de los focos F y F´, en una elipse destacan los siguientes elementos:
• Centro, O.
• Eje mayor, AA´.
• Eje menor, BB´.
• Distancia focal, OF.Algunas distancias características de la elipse se suelen designar con las letras siguientes:
o
. El eje mayor mide 2a.
o
. El eje menor mide 2b.
o
. La distancia entre focos es 2c.
o
.
Por ser rectángulo el triángulo OBF, se cumple la siguiente relación:
a2 = b2 + c2
La excentricidad de una elipse se obtiene así: e = c/a
Puesto que c < a se verifica que 0 < e < 1, esdecir, la excentricidad de una elipse es un número comprendido entre 0 y 1.
Las órbitas de todos los planetas son elipses, uno de cuyos focos es el Sol. Las más excéntricas son la de Plutón, e = 0,25 , y la Mercurio, e = 0,21. Los restantes planetas tienen órbitas con excentricidades inferiores a 0,1 , es decir, casi circulares.
o PROPIEDADES DE LA ELIPSE
Si desde un punto P de la elipse se trazanlos segmentos PF y PF', la bisectriz exterior del ángulo que forman estos segmentos es tangente a la elipse.

Otra propiedad de la elipse, consecuencia de la anterior, es que un rayo que pasa por uno de los focos de la elipse, al reflejarse en ésta, pasa por el otro foco.
o ECUACIÓN REDUCIDA DE LA ELIPSE
Si se sitúan los ejes ordenados del siguiente modo: el eje X coincidiendo con el ejemayor de la elipse y el eje Ycoincidiendo con el eje menor, la ecuación de la elipse adopta la forma siguiente:

que se llama ecuación reducida de la elipse.
Hipérbola
Una de las cónicas. Se trata de una curva abierta, formada por dos ramas, que se obtiene al cortar una superficie cónica de eje e y ángulo a mediante un plano que no pasa por el vértice y que corta a e con un ángulo b menor quea.

La hipérbola se puede definir como lugar geométrico del siguiente modo: dados dos puntos fijos, F y F , llamados focos, y un número positivo k,
, la hipérbola es el lugar geométrico de los puntos, P, tales que la diferencia de distancias a los focos es igual a k:


; |d1 - d2| = k.
La hipérbola tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva...