1260642661_138730054

´
Apuntes de Algebra.
Ingenier´ıa Industrial

Encarnaci´on Algaba Dur´an
Fernando Mayoral Masa
Alejandro J. Rodr´ıguez Luis
Dpto. Matem´atica Aplicada II
E.T.S. Ingenieros
Universidad de Sevilla

Introducci´on.
´
Con las siguientes notas se pretende facilitar a los alumnos de la asignatura de Algebra
la tarea
de trabajar y asimilar sus contenidos.
Referente a algunos contenidos, y sin pretenderser exhaustivos, es conveniente rese˜
nar lo siguiente:
Las c´
onicas y las cu´
adricas. El estudio de las c´onicas (par´abolas, elipses e hip´erbolas en el
plano) y de las cu´adricas (elipsoides, paraboloides, ... en el espacio) aparece separado en dos bloques.
Por una parte en el Tema 1 se estudian, desde un punto de vista elemental, aquellos aspectos que no
requieren t´ecnicas adicionales alas conocidas en Bachillerato. Esto permite el estudio y manipulaci´on
de las c´onicas y cu´adricas cuyos ejes y planos (en el caso de las cu´adricas) de simetr´ıa son paralelos
a los coordenados. Por otra parte, en el Tema 11 se hace el estudio de las c´onicas y las cu´adricas con
elementos de simetr´ıa girados respecto al sistema de coordenadas. Las razones para no concentrar
todo su an´alisis alfinal de la asignatura son varias. Quiz´a la m´as importante sea que constituyen un
cat´alogo b´asico de ejemplos en el estudio del c´alculo diferencial e integral de una y varias variables y
no tiene sentido considerar la parte elemental al final del temario cuando ya haya sido usada en las
asignaturas de C´alculo y Fundamentos F´ısicos.
Las formas cuadr´
aticas. Referente a las formascuadr´aticas puede decirse algo similar a lo
comentado para las c´onicas y las cu´adricas. Su estudio est´a dividido en dos partes. Por una, la
que puede ser estudiada con t´ecnicas elementales (Tema 2) y por otra (Tema 11) la que requiere
del estudio de autovalores y autovectores. Las formas cuadr´aticas son polinomios homog´eneos de
segundo grado en varias variables. En la optimizaci´on de funciones devarias variables (c´alculo de
m´aximos y m´ınimos) juegan el mismo papel que tiene la derivada segunda en el c´alculo de extremos
de funciones de una variable.
N´
umeros complejos. El estudio de un tema dedicado a los n´
umeros complejos obedece a dos
motivos fundamentales. Por un lado, aunque s´olo se consideraran matrices reales, pueden aparecer en
el c´alculo de autovalores y autovectores (Tema10). Por otro, cabe citar el fuerte contenido geom´etrico
que tienen sus operaciones en relaci´on con las transformaciones en el plano.
Vectores y matrices reales. Consideramos casi exclusivamente vectores y matrices reales,
aunque conceptualmente, en lo relativo a manipulaci´on algebraica, no hay diferencias esenciales entre
trabajar con vectores y matrices con entradas reales o hacerlo conentradas complejas. No obstante,
en los problemas de autovalores y autovectores (Tema 10) aparecer´an no s´olo n´
umeros sino tambi´en
vectores y matrices complejos. Haremos uso de los conceptos de independencia lineal, subespacio
vectorial generado por ciertos vectores, inversa de una matriz, ..., sin tener en cuenta si se trata o
no de coordenadas reales o complejas y aunque, de manera expl´ıcita, enlos temas anteriores s´olo
se hayan considerado algunos conceptos en el caso real. Por otra parte, en los conceptos y t´ecnicas
relacionados con cuestiones m´etricas (ortogonalidad, distancias, ...), que est´an basados en el producto
escalar, la consideraci´on del caso complejo conllevar´ıa el cambio de la definici´on de producto escalar.
Por ello, no citaremos nada relativo a cuestiones m´etricaspara vectores complejos.
Geometr´ıa. La geometr´ıa puede considerarse el nexo com´
un a todos los conceptos y t´ecnicas de
la asignatura. Aunque, en lo relativo a conceptos lineales, se trabaje habitualmente con vectores y
matrices en dimensi´on arbitraria, la visualizaci´on de los conceptos, t´ecnicas,... en el plano y el espacio
(de dimensi´on tres) constituye una herramienta esencial....