129185_RECTAS PLANOS

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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANA
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES MATEMATICAS Y DEL MEDIO AMBIENTE
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

RECTAS - PLANOS
1. Rectas
a) La recta L1 , pasa por los puntos (−6, −1, 3), (−3, 2, 7) y una
recta L2 , pasa por los puntos (4, 2, 1), (3, −2, 5). Hallar el a´ngulo
agudo formado por L1 , y L2 . (Debe usar calculadora)
b) Encuentre un vector perpendicular a lasrectas L1 , L2 , cuyos vectores directores son (1, −4, 2), y (2, 3, −1) respectivamente.
c) Determine la ecuaci´on sim´etrica de la recta que pasa por el punto
P (2, −1, 4) y tiene vector director v = (3, −1, 6).
d ) Determine las ecuaci´on param´etrica de la recta que pasa por el
punto P (4, 0, 5) y es paralela a la recta cuyo vector director es
v = (1, −1, 3).
e) Determine las ecuaci´ones sim´etricasy param´etricas de la recta que pasa por el punto P (−2, 4, 3) y tiene vector director
v = (2, 0, −3).
f ) Hallar las ecuaciones sim´etricas de la recta que pasa por los puntos
(0, 0, 0), (2, −1, 5).
g) Hallar las ecuaciones sim´etricas de la recta que pasa por los puntos
(5, 0, 7), (5, −3, 11).
h) Una recta L1 pasa por los puntos (2, 1, −1), (5, −1, 3) y otra
recta L2 pasa por el punto (−4, 2,−6) y por un punto P cuya
coordenada x es 2. Hallar las otras coordenadas de P si L1 es
paralela a L2 .
i ) Un punto P est´a sobre la recta que une los puntos (4, 2, 2) y (−2, 0, 6).
Si la coordenada y de P es 1, hallar sus otras coordenadas.
j ) Determinar la ecuaci´on sim´etrica de la recta que pasa por el punto P (−7, 3, −5) y es perpendicular a dos rectas L1 , L2 cuyos
vectores directores son (4,−2, 3) y (1, 2, −2) respectivamente.
k ) Hallar el punto de intersecci´on de las rectas L1 y L2 sabiendo que
L1 pasa por los puntos (3, −5, 2), (11, −3, 6) y L2 contiene los
puntos (5, −3, 2), (9, −5, 6).

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l ) Hallar las ecuaciones sim´etricas de la recta que pasa por el punto
P (−6, 5, 3) y es paralela a la recta de ecuaciones:
x+4
3−y
3z + 5
=
=
−2
2
6
m) Hallar las ecuaciones sim´etricas dela recta que pasa por el punto
P (3, −3, 4) y es perpendicular a cada una de las rectas:
2x + 4
y−3
z+2
=
=
4
−1
5

,

x−3
2y − 7
3−z
=
=
1
2
−3

n) Hallar el ´angulo agudo formado por las rectas:
y
2z + 3
x−1
= =
−7
3
−4

,

x+5
y−8
z+9
=
=
3
−2
4

(Debe usar calculadora)
2. Planos
a) Hallar la ecuaci´on del plano que pasa por el punto (5, −1, 3) y
tiene vector normal v = (1, −4, 2).
b) Desde elpunto (5, 4, −7) se ha trazado una recta perpendicular
a un plano. Si el pie de esta perpendicular es el punto (2, 2, −1),
hallar la ecuaci´on del plano.
c) Hallar la ecuaci´on del plano tal que pasa por el punto (4, −1, 1),
y es paralelo al plano 4x − 2y + 3z − 5 = 0.
d ) Hallar la ecuaci´on del plano que pasa por los puntos dados.
1) (−3, 2, 4), (2, 2, −1) y (1, 5, 7).
2) (1, 4, −4), (2, 5, 3)y (3, 0, −2).
e) Hallar la ecuaci´on del plano que pasa por el punto (−4, 2, 9) y es
perpendicular al eje Z.
f ) Determinar el ´angulo formado por los planos 3x + y − z + 3 = 0 ,
x − y + 4z − 9 = 0 (Debe usar calculadora)
g) Hallar la ecuaci´on del plano que pasa por el punto (3, −2, 6) y es
paralelo al plano 4y − 3z + 12 = 0.

3
h) Hallar la ecuaci´on del plano que contiene al eje Z y pasa porel
punto (4, −1, 7).
i ) Un plano es perpendicular al plano 2x − 2y + z + 4 = 0 , pasa por
el punto (3, 1, −1), y su intercepci´on con el eje Z es en el punto
z = −3. Hallar su ecuaci´on.
j ) Determinar el valor de k para que los planos kx − 2y + 2z = 7 y
4x + ky − 6z + 9 = 0 sean perpendiculares entre si.
k ) Determinar el valor de k para que el plano 2x + ky − kz + 7 = 0
sea perpendicular alplano y 3x + 6y − 12 = 0. Hallar la ecuaci´on
del plano.
l ) Determinar el valor de k para que el plano kx − 3y + kz − 22 = 0
pueda pasar por el punto (3, −4, 2). Hallar la ecuaci´on del plano.
m) Hallar la ecuaci´on del plano paralelo al plano 7x + 3y − 2z + 2 = 0
y cuya intercepci´on con el eje Z es el punto (0, 0, 4).
3. Rectas y planos
a) Determinar la ecuaci´on de la recta que pasa por P0 (2,...