13 3 La Elipse

Sesión 13.3

Cónicas: Elipse

En las artes decorativas

Galaxia elíptica: Andrómeda
Distribución de la radiación
de calor dentro de la elipse
reflectante
Este diseño elimina
prácticamente todo consumo
de energía que se malgastaba
calentando componentes como
el elemento en forma de “U”
del horno convencional, y en el
calentamiento del aire del
habitáculo del horno.

El Gran Teatro Nacional deChina: “El Huevo”
Las elipses de Fibonacci, se usan
determinar la tendencia global del mercado.

para

2

Consideraciones previas: La litotricia
Es un procedimiento
médico que utiliza ondas de
choque de alta frecuencia
para romper cálculos
(piedras) que se forman en
el riñón, la vejiga, los
uréteres o la vesícula biliar.

Note la utilidad
de la elipse para
aplicaciones
en la medicina.
3http://www.nlm.nih.gov/medlineplus/spanish/ency/article/007113.htm

3

La litotricia
http://www.youtube.com/watch?v=bJ8l1P4N6LI
http://www.youtube.com/watch?
NR=1&v=NGG5piR70xI

Otros enlaces
http://dibujemos.wordpress.com/2008/12/06/curvasconicas/
http://www.efxto.com/diccionario/e/3723-elipse-defibonacci

4

Geometría de la elipse. Definición.
Es el conjunto de puntos (x; y) del plano tales que
la sumade sus distancias a dos puntos fijos F1 y F2
(focos) es una constante.
y

Focos

Centro

d2
d1
X

Eje focal

Vértices
d1 + d2 = constante
5

Ecuación de la elipse
y

X

( x  c)2  ( y  0)2  ( x  c)2  ( y  0)2  2a

x2 y2
 2 1
2
a
b

Del triángulo
2

2

a b  c

2

6

Ecuación de la elipse
Las elipses están centradas en el origen, con focos
en el eje x (a) y en el eje y (b):
y
Semiejemayor: a

(b)

y
(0; b)
b

(-a; 0)

(-c; 0)

a
c (c; 0)

(0; -b)

x

(a; 0)

Semieje mayor: a

(a)

(0; a)
(0; c)
c

a

b

(-b; 0)

x

(b; 0)

(0; -c)

x2 y2
 2 1
2
a
b

(0; -a)

y2 x2
 2 1
2
a
b

7

Ejemplos
Determine los vértices y los focos de la elipse:
2
2
16
x

25
y
 400
a)

b) 9 x 2  4y 2  36

8

Elipses con centro (0; 0)
Ecuación estándar

x2 y2
 2 1
2
a
b

y 2 x2
 2 1
2
ab

Eje focal

Eje x

Eje y

Focos

(c; 0)

(0; c)

Vértices

(a; 0)

(0; a)

Semieje mayor

a

a

Semieje menor

b

b

Relación pitagórica

2

2

a b  c

2

a2  b2  c 2
9

Para trazar una elipse
1. Dibuje los segmentos de recta en x =  a y en y =  b
y complete el rectángulo que queda determinado por los
segmentos.
2. Inscriba una elipse que sea tangente al rectángulo en
(a; 0) y en (0;b).
y

x2 y2
 2 1
2
a
b

b
a

-a

x

-b

Ejercicio:
Determine la ecuación de la elipse con focos (0; -3) y
(0; 3), cuya longitud del eje menor es 4. Bosqueje la
elipse.

10

Traslación de elipses
Si la elipse tiene centro (h, k)

(h; k+a)

y

(h, k+c)

y

(h; k+b)
(h–a; k)
(h; k)
(h+c; k) (h+a; k)
(h–c; k)
(h; k–b)

( x  h)2 ( y  k )2

1
2
2
a
b

x

Semieje mayor: a

Semieje mayor: a
(h,k)
(h;
(h–b; k)

(h+b; k)

(h; k–c)

x

(h; k–a)

( y  k )2 ( x  h)2

1
2
2
a
b
11

Elipses con centro (h; k)
Ecuación estándar

( x  h)2 ( y  k )2

1
2
2
a
b

( y  k )2 ( x  h)2

1
2
2
a
b

Eje focal

y=k

x=h

Focos

(h  c; k)

(h; k  c)

Vértices

(h  a; k)

(h; k  a)

Semieje mayor

a

a

Semieje menor

b

b

Relación pitagórica

2

2

a b  c

2

a2  b2  c 2
12Ejercicios
1. Grafique la elipse:

( x  1)2
( y  2)2

1
4
9
2. Determine la forma estándar de la ecuación de
la elipse cuyo eje mayor tiene sus puntos
extremos en (-2; -1) y (8; -1), y cuya longitud del
eje menor es 8.
3. Pruebe que la gráfica de la ecuación es una elipse
y determine sus vértices y los focos:

9 x 2  4y 2  18 x  8y  23  0
13

Excentricidad de una elipse
La excentricidad de unaelipse es:

c
a2  b2
e 
a
a

0  e 1

En donde a es el semieje mayor, b es el semieje
menor y c es la distancia del centro de la elipse a
cualquiera de los focos.

14

Modelación
Trazo de una elipse en una plancha contraplacada

Un carpintero desea construir una mesa con
cubierta elíptica a partir de una plancha de madera
de 4 pies por 9 pies. El trazará una elipse por medio
del método de...