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Páginas: 7 (1731 palabras)
Publicado: 30 de septiembre de 2015
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2010–11.
MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II
Lección 2. Integrales y aplicaciones.
3. Volumen de un sólido.
En esta sección veremos cómo podemos utilizar la integral definida para calcular volúmenes de
distintos tipos de cuerpos sólidos.
Volumen de un sólido con secciones paralelas de área conocida. Una sección de un sólido S es
la región planaque se obtiene cortando el sólido S con un plano.
Queremos calcular el volumen de un sólido como el de esta figura. Para ello, suponemos que conocemos el área de cada una de las secciones paralelas que producimos en el sólido S . Denotaremos
por A( x) al área de la sección correspondiente al punto x y consideramos una partición del intervalo [ a, b ] x0 = a < x1 < x2 < " < xn −1 < xn = b.Cortamos el sólido S en rodajas por planos paralelos
Pk perpendiculares al eje OX en los puntos xk de la partición. Observa la siguiente figura.
1
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2010–11.
MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II
Lección 2. Integrales y aplicaciones.
Ahora aproximaremos la rodaja entre los planos correspondientes a los puntos xk −1 y xk por un cilindro con área de labase A( xk ). El volumen de la rodaja será aproximadamente igual al volumen
del cilindro que es Vk = A( xk ) ( xk − xk −1 ) .
Entonces tenemos que
Volumen de la k –ésima rodaja ≈ Vk = A( xk ) ( xk − xk −1 ) .
El volumen V del sólido S se puede aproximar por la suma de los volúmenes de los cilindros y
n
n
k =1
k =1
obtenemos entonces la aproximación V ≈ ∑ Vk = ∑ A( xk ) ( xk − xk −1 ). Estaaproximación es una
suma de Riemann de la función A : x ∈ [ a, b ] → A( x) ∈ \ que determina el área de cada una de las
secciones perpendiculares. Puesto que la aproximación del volumen mejorará cuando la norma de la
partición que elegimos tienda a cero, definimos el volumen del sólido S como la integral de la función A en el intervalo [ a, b ] .
DEFINICIÓN. Se define el volumen de un sólido S consecciones paralelas de área conocida, dada
por la función continua A : x ∈ [ a, b ] → A( x) ∈ \, como la integral
∫
b
A( x)dx.
a
EJEMPLO. Vamos a calcular el volumen de una cuña que se produce al cortar un cilindro de radio 3
por dos planos como se muestra en la siguiente figura. Uno de los planos es perpendicular al eje del
cilindro y el otro forma con el primero un ángulo de 45º.
2
GRADODE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2010–11.
MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II
Lección 2. Integrales y aplicaciones.
Las secciones paralelas perpendiculares al eje OX son rectángulos de altura x y base 2 9 − x 2 .
Entonces, la función que nos da el área de estas secciones es
A : x ∈ [ 0,3] ⊆ \ → A( x) = 2 x 9 − x 2 ∈ \.
Por tanto, V =
∫
3
0
3
3
⎤
2⎛
2 3
2 x 9 − x dx = − ⎜ ( 9 −x 2 ) 2 ⎥ = ⋅ 9 2 = 18.
3⎝
⎦0 3
2
Ahora calcularemos el volumen de sólidos de revolución que se obtienen al hacer girar la región
plana A := {( x, y ) ∈ \ 2 : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f ( x)} , siendo f : x ∈ [ a, b ] ⊆ \ → f ( x) ∈ \ una función
continua y positiva definida en el intervalo [ a, b ] . Veremos dos procedimientos: la fórmula de los
discos y la fórmula de los tubos.
Fórmula de losdiscos. Supongamos que la región A gira alrededor del eje OX . Entonces generamos un sólido S de forma que las secciones transversales por planos perpendiculares al eje OX son
círculos de radio f ( x). De aquí el nombre de fórmula de los discos. El área A( x) del disco produ-
cido por el corte correspondiente a x es, por tanto, A( x) = π ( f ( x) ) y, de acuerdo con la fórmula
2
de las seccionesparalelas obtenemos que V =
∫
b
π ( f ( x) ) dx.
2
a
DEFINICIÓN (FÓRMULA DE LOS DISCOS). Se define el volumen del sólido S que se obtiene al girar la
región A alrededor el eje OX como la integral V = π
∫
b
( f ( x) )
2
dx.
a
EJEMPLO. La región entre la curva y = x , con 0 ≤ x ≤ 4, y el eje OX
3
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2010–11.
MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA...
MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II
Lección 2. Integrales y aplicaciones.
3. Volumen de un sólido.
En esta sección veremos cómo podemos utilizar la integral definida para calcular volúmenes de
distintos tipos de cuerpos sólidos.
Volumen de un sólido con secciones paralelas de área conocida. Una sección de un sólido S es
la región planaque se obtiene cortando el sólido S con un plano.
Queremos calcular el volumen de un sólido como el de esta figura. Para ello, suponemos que conocemos el área de cada una de las secciones paralelas que producimos en el sólido S . Denotaremos
por A( x) al área de la sección correspondiente al punto x y consideramos una partición del intervalo [ a, b ] x0 = a < x1 < x2 < " < xn −1 < xn = b.Cortamos el sólido S en rodajas por planos paralelos
Pk perpendiculares al eje OX en los puntos xk de la partición. Observa la siguiente figura.
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GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2010–11.
MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II
Lección 2. Integrales y aplicaciones.
Ahora aproximaremos la rodaja entre los planos correspondientes a los puntos xk −1 y xk por un cilindro con área de labase A( xk ). El volumen de la rodaja será aproximadamente igual al volumen
del cilindro que es Vk = A( xk ) ( xk − xk −1 ) .
Entonces tenemos que
Volumen de la k –ésima rodaja ≈ Vk = A( xk ) ( xk − xk −1 ) .
El volumen V del sólido S se puede aproximar por la suma de los volúmenes de los cilindros y
n
n
k =1
k =1
obtenemos entonces la aproximación V ≈ ∑ Vk = ∑ A( xk ) ( xk − xk −1 ). Estaaproximación es una
suma de Riemann de la función A : x ∈ [ a, b ] → A( x) ∈ \ que determina el área de cada una de las
secciones perpendiculares. Puesto que la aproximación del volumen mejorará cuando la norma de la
partición que elegimos tienda a cero, definimos el volumen del sólido S como la integral de la función A en el intervalo [ a, b ] .
DEFINICIÓN. Se define el volumen de un sólido S consecciones paralelas de área conocida, dada
por la función continua A : x ∈ [ a, b ] → A( x) ∈ \, como la integral
∫
b
A( x)dx.
a
EJEMPLO. Vamos a calcular el volumen de una cuña que se produce al cortar un cilindro de radio 3
por dos planos como se muestra en la siguiente figura. Uno de los planos es perpendicular al eje del
cilindro y el otro forma con el primero un ángulo de 45º.
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GRADODE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2010–11.
MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II
Lección 2. Integrales y aplicaciones.
Las secciones paralelas perpendiculares al eje OX son rectángulos de altura x y base 2 9 − x 2 .
Entonces, la función que nos da el área de estas secciones es
A : x ∈ [ 0,3] ⊆ \ → A( x) = 2 x 9 − x 2 ∈ \.
Por tanto, V =
∫
3
0
3
3
⎤
2⎛
2 3
2 x 9 − x dx = − ⎜ ( 9 −x 2 ) 2 ⎥ = ⋅ 9 2 = 18.
3⎝
⎦0 3
2
Ahora calcularemos el volumen de sólidos de revolución que se obtienen al hacer girar la región
plana A := {( x, y ) ∈ \ 2 : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f ( x)} , siendo f : x ∈ [ a, b ] ⊆ \ → f ( x) ∈ \ una función
continua y positiva definida en el intervalo [ a, b ] . Veremos dos procedimientos: la fórmula de los
discos y la fórmula de los tubos.
Fórmula de losdiscos. Supongamos que la región A gira alrededor del eje OX . Entonces generamos un sólido S de forma que las secciones transversales por planos perpendiculares al eje OX son
círculos de radio f ( x). De aquí el nombre de fórmula de los discos. El área A( x) del disco produ-
cido por el corte correspondiente a x es, por tanto, A( x) = π ( f ( x) ) y, de acuerdo con la fórmula
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de las seccionesparalelas obtenemos que V =
∫
b
π ( f ( x) ) dx.
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a
DEFINICIÓN (FÓRMULA DE LOS DISCOS). Se define el volumen del sólido S que se obtiene al girar la
región A alrededor el eje OX como la integral V = π
∫
b
( f ( x) )
2
dx.
a
EJEMPLO. La región entre la curva y = x , con 0 ≤ x ≤ 4, y el eje OX
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