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CAPITULO

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Repaso de
álgebra
_1.1 Propósito
Este capítulo está diseñado para ofrecer un breve repaso de algunos términos y métodos necesarios en la manipulación matemática. Sin duda, el lector ha estado expuesto
a gran parte de este material en ocasiones anteriores. Sin embargo, debido a que estos
temas son importantes para manejar las matemáticas que vienen después, es posible
que una segundaexposición resulte benéfica. Se debe dedicar a estas secciones el tiempo necesario para repasarlas.

_1.2 Conjuntos y números reales
En términos simples, un conjunto es un grupo de objetos. Por ejemplo, se puede hablar
del conjunto de los números pares entre 5 y 11, que son el 6, el 8 Y ellO. A un objeto
que se encuentre en un conjunto se le denomina miembro o elemento de aquél.
Una forma deespecificar un conjunto es listando sus miembros, en cualquier
orden, dentro de llaves. Por ejemplo, el conjunto anterior es {6, 8, lO}, el cual se puede
denotar mediante una literal como A. Se dice que un conjunto A es un subconjunto de
un conjunto B si, y sólo si, todos los elementos de A son también elementos de B. Por
ejemplo, si A = {6, 8, lO} Y B = {6, 8, 10, 12}, entonces A es un subconjunto deB.
Ciertos conjuntos de números tienen nombres especiales. Los números 1, 2, 3,
etc., forman el conjunto de los enteros positivos (o números naturales):

conjunto de los enteros positivos

=

{l, 2, 3 . .. } .

Los tres puntos significan que la lista de elementos no tiene fin, aun cuando se sabe
cuáles son los elementos.
Los enteros positivos, junto con el cero y los enteros negativos -1, -2, -3,...
forman el conjunto de los enteros:

conjunto de los enteros

= {...,

-3, -2, -1, 0, 1,2,3, ... }.

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REPASO DE ÁLGEI3RA

El conjunto de los números racionales consiste en números como! y !, que se
pueden escribir como una razón (cociente) de dos enteros . Es decir, un número racional
es aquel que puede escribirse como p / q, donde p y q son enteros y q O. (El símbolo
19 -2
se lee"es diferente de".) No se puede dividir entre cero. Los números 20' 7

'*

"'*"

-6
Yson racionales. El entero 2 es racional puesto que 2
-2
2 1 3 -4
enteros son racionales. Se debe señalar que 4' 2' 6' _ 8 Y0.5

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- . De hecho, todos los
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representan todos el mis-

mo número racional.
Todos los números racionales se pueden representar mediante números decimales
conmensurables (con un númerodefinido de cifras), tales como ~ = 0.75 Y i = 1.5, o
mediante decimales inconmensurables periódicos (con un grupo de dígitos que se repi-

~

= 0.666 ... , - 4 = -0.3636 ... y 125 = 0.1333 ...
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Los números que se representan mediante decimales inconmensurables no periódicos
se llaman números irracionales. Un número irracional no se puede escribir como un
entero dividido entre otro entero. Losnúmeros 11" (Pi) Y V2 son irracionales.
Juntos, los números racionales y los números irracionales forman el conjunto de
los números reales. Estos números pueden representarse mediante puntos en una recta.
esto se elige primero un punto de la recta para representar el cero. A este punto
se le denomina origen (véase la Figura 1.1). Después, se elige una unidad de medida
de distancia, a la que se ledenomina "distancia unitaria" y se marca en forma sucesiva
tanto hacia la izquierda como a la derecha del origen. A cada punto sobre la recta se
le asocia una distancia dirigida, o número con signo, que depende de la posición del
punto con respecto al origen. Las posiciones que se encuentran a la derecha del origen
se las considera positivas ( + ), ya las que se están a la izquierda se las consideranegativas
(-). Por ejemplo, al punto que se encuentra ! unidad a la derecha del origen le corresponde el número con signo lo al que se le denomina la coordenada de ese punto. De
manera similar, la coordenada del punto que se sitúa a 1.5 unidades a la izquierda del
origen es -1.5. Se indican las coordenadas de algunos puntos en la Figura 1.1. La punta de flecha indica que la dirección hacia la...