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TRILCE

FICHA

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DESIGUALDADES E INECUACIONES
VALOR ABSOLUTO

DESIGUALDADES
Definición
Se denomina desigualdad a la comparación que se
establece entre dos expresiones reales, mediante los signos
de relación >, <;  o  .

Teoremas de la Desigualdad
1.

 a  R : a2  0

2.

a0 1 0
a
a0 1 0
a

Ejemplo :
Siendo, a y b números reales :
a>b
a a b
a  b

a
a
a
a

mayor que b
menor que bmayor o igual que b
menor o igual que b

3.

a>b
c>d
a+c > b+d

4.

1.

2.

a , b  c  R; o a , b  c  R

abc1  1  1
c b a
6.

 a , b  c  R , n  Z /
a  b  c  a 2n1  b 2n 1  c 2n1

Ley de Transitividad

a,b  c  R / a  b  b  c  a  c
3.

5.

Ley de Tricotomía

 a  b  R :a  b  a  b  a  b

a , b, c  d  R :
a>b
c>d
a.c > b.d

Observación : A los signos de relación >o < se les da el
nombre de signos simples mientras que a  o  se les
denomina signos dobles.
Axiomas de la desigualdad

a , b, c  d  R :

7.

 a , b  c  R  , n  Z
a  b  c  a 2n  b 2n  c 2n

Ley Aditiva

a, b  c  R / a  ba  c  b  c
Propiedades de la desigualdad
4.

Ley Multiplicativa
1.
4.1.

 a , b  R  c  R  / a  b  ac  bc

4.2.

 a , b  R  c  R  / a  b  ac bc

Equivalencias Usuales :
Siendo a, b, c números reales.
1.

a  b  a  ba  b

2.

a  b  c  a  bb  c

a  0, c  0  c 2  a2
a  b  c  0  b2  c 2

2.

a 0 :a 1  2
a

3.

a  0 : a  1  2
a

1

Álgebra
Propiedad adicional :

1.3.Intervalo mixto (semi abierto o semi cerrado) :

Considera sólo a uno de sus extremos para :
Para números reales positivos, tenemos :
MP
MA
MG
MH

==
=
=

x

Media potencial
Media aritmética
Media geométrica
Media Armónica

a

b

a  x  b  x   a ; b]
para :
x

MP  MA  MG  MH
a

Para dos números : a  b; k  Z

k

a k  bk  a  b  ab  2
11
2
2
a b

2.

Intervalos no acotados :
Son todos aquellos donde al menos uno de los
extremos no es un número real.
2.1. Intervalo acotado inferiormente :

para tres números : a, b  c; k  Z 

xa k  b k  c k  a  b  c  3 abc 
3
111
3
3
a b c
INTERVALOS
k

a



Donde : a  x    x  a
x   a ; 

Definición
Se denomina intervalo al conjunto cuyos elementos
son números reales, dichos elementos se encuentran
contenidos entre dos números fijos denominados extremos,
a veces los extremos forman parte del intervalo.
1.

b

a  x  b  x  [a ; b 

x
a



Donde : a  x    x a

x  [a ;  

Intervalos acotados :
Son todos aquellos intervalos cuyos extremos son
reales, estos pueden ser :

2.2. Intervalo acotado superiormente :
x

1.1.Intervalo abierto :

No considera a los extremos, se presenta por existencia de algún signo de relación simple.
En la recta, se tendrá :

Donde :    x  a  x  a
x    ; a 

x
a

x



b

a

Donde : a  x  b  x   a ; b Donde :    x  a  x  a

También : x ] a ; b [

x    ; a]
Observaciones :

1.2.Intervalo cerrado :

Se considera a los extremos, se presenta por existencia de algún signo de relación doble.
En la recta real, se tendrá :
x
a

1.

Un conjunto se dice que es acotado si y solo si es
acotado superiormente e inferiormente a la vez.

2.

Para el conjunto de los números reales R, se tiene :

R  ]  ;  [    ;  

b

Es evidente que   y  no son números reales.

Donde : a  x  b  x  [a ; b]
También : x  (a ; b)

2

a



3.

Como los intervalos son conjuntos, con ellos se
podrán efectuar todas las operaciones existentes para
conjuntos, tales como la unión, intersección, diferencia
simétrica, etc.

Clases de desigualdad
1.

Desigualdad absoluta :
Es aquella que mantiene elsentido de su signo de
relación para todo valor de su variable. Vemos un
ejemplo :
*

2.

Resolución de la inecuación : Se recomienda utilizar el
método de los puntos de corte cuya aplicación consiste en
los siguientes pasos :
1.

Se trasladan todos los términos al primer miembro,
obteniendo siempre una expresión de coeficiente
principal positivo.

2.

Se factoriza totalmente a la expresión...

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