1416950491 64 DEBER4 CALC INT PAR 4 8

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
CÁLCULO INTEGRAL – 2DO. TÉRMINO 2014 - 2015
DEBER NO. 4 – ING. LUIS ANDRÉS VARGAS

1.- JUSTIFICANDO SU RESPUESTA,CALIFIQUE COMO VERDADERA O FALSA LAS SIGUIENTES
PROPOSICIONES:
a)
3

1

∫(𝑥 − ⟦𝑥⟧) 𝑑𝑥 = 3 ∫(𝑥 − ⟦𝑥⟧) 𝑑𝑥
0

0

b) Si 𝑓 es una función definida en el intervalo [𝑎, 𝑏] y 𝐹 es una antiderivada de 𝑓 en[𝑎, 𝑏],
entonces:
𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑎) − 𝐹(𝑏)
𝑎
2
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
0

c) Si 𝑓 es una función par y 𝑔 es una función impar tales que ∫

= −4 y

2

∫0 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 5, entonces:
0

∫[2𝑔(𝑥) + 3𝑓(𝑥)]𝑑𝑥 = −22
−2

1
2
d) Si ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 6, ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
0
0
5
1
∫1 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫0 𝑓(2𝑥)𝑑𝑥 = 1

5

4 y ∫2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1, entonces

e) Si 𝑓 y 𝑔 son funciones continuas en [0,1], entonces:
1

1

∫ 𝑓(𝑥)𝑔(1 − 𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(1 − 𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥
0

0

 x2
 2
f)Si f es la función definida por f ( x)  x , x  R , entonces F ( x)   2
 x
 2
una anti derivada de f ( x) en todos los reales.
g) Si f ( x)  g ( x), x   a, b  , entonces
3

h)

   4  x dx  8
2

3

b

b

a

a

 f ( x)dx   g ( x)dx

, x0
, es

, x0

n

i)
j)

lim 

n 

i 1

4
∫−2(2⟦𝑥⟧

4i 4 32

n n
3
− 3|𝑥|) 𝑑𝑥 = −24
x2

k) Si

g ( x) 



 x2

5

2x
t2
g
´(
x
)

dt
,entonces
1 t2
1  x4

𝑎
𝑎
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
=
2
𝑓(𝑥)𝑑𝑥, entonces 𝑓 es una función par.
∫
−𝑎
0
𝑏
m) Si ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥ 0, entonces 𝑓(𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]
𝑎
2
2
n) ∫ (2𝑥 4 + 𝑥 3 𝑒 𝑥 − 𝑥 7 √1 + 𝑥 8 )𝑑𝑥 = 64
−2

l)

Si∫

o) Sea 𝑓 una función continua, definida sobre el intervalo cerrado [−2,3]; entonces existe un
3

valor 𝑀 ∈ 𝑟𝑔𝑓, tal que ∫−2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 5𝑀
𝑥2

p) Sea ℎ una función definida por ℎ(𝑥) = ∫0 𝑒 𝑥+𝑡 𝑑𝑡,entonces ℎ′ (1) = 𝑒(3𝑒 − 1)
5

q) ∫−1 |||𝑥| − 3| − 2| 𝑑𝑥 = 5
2.- Desarrollar los siguientes problemas:
a) Si la gráfica adjunta representa el costo C (en dólares) de producir un producto en el mes t,calcule el costo promedio de producir dicho artículo entre los meses 1 y 7.

b) Un tanque de agua de 5000 litros tarda 10 min en vaciarse. Después de t minutos la cantidad
de agua que queda...