142291761 Calculo en una variable Rojas German pdf

APUNTE DEL ALUMNO
SIGLA: MAT 293
NOMBRE: CÁLCULO DIFERENCIAL

PROPÓSITO Y DESCRIPCIÓN DE LA ASIGNATURA
Esta asignatura está orientada a la enseñanza de las aplicaciones de la Matemática en los ámbitos
de la Administración, las Finanzas y la Economía. Su desarrollo se inicia con algunos elementos
del Álgebra, para luego dar lugar a los conceptos básicos del Cálculo Diferencial, llegandorápidamente a las aplicaciones de estos tópicos a las áreas de interés profesional a que está
dirigido.

UNIDAD 1
RELACIONES

DESARROLLO DE CONTENIDOS
RELACIONES
Si consideramos las operaciones entre conjuntos de la sección anterior, encontraremos
que hay conjuntos formados por un sólo elemento, estos conjuntos se denominan: conjuntos unitarios o
singlenton.
Por ejemplo: A ={ 1 } ; B ={ a } ; C ={ p } ;etc.
Ahora si aplicamos la unión “ ∪ ” a dos singlenton tenemos un conjunto formado por dos
elementos, llamado “par”.
Ejemplo:
Sean A={ 1 } y B={ a } , entonces A ∪ B = {1} ∪ {a} ⇒ A ∪ B = { 1 , a }
Usando la expresión lógica, podemos definir par, como sigue:
{x,y}⇔{u/(u=x)∨(u=y)}
Departamento de Matemática, Estadística y Física
MAT 293

Los elementos “ x , y “ mencionados pueden pertenecer a unmismo conjunto A o a conjuntos
distintos, es decir x ∈ A ∧ y ∈ B.
De acuerdo a lo anterior, resulta que el par:
{x,y}={y,x}
También son verdaderas las siguientes expresiones:
{ x , x } = { x } singlenton
{x} ={y} ⇒ x=y
{x} ⊆A ⇔x∈A
Ahora, si tenemos un par y un singlenton y efectuamos su unión, tenemos:
{ x , y }∪{ z }={ x , y , z } que se denomina triple
Si unimos dos pares o un triple y unsinglenton, tenemos:
{ x , y }∪{ z , w } o { x , y , z }∪{ w }
se tiene : { x , y , z w } que se denomina cuádruplo
Y así, se puede seguir obteniendo conjuntos con un mayor número de elementos.
Dentro de los conjuntos enumerados anteriormente, interesa en especial los “ pares ” y de estos
aquellos que

sigan “un orden” preestablecido, a este tipo de pares en que sus elementos tengan un

orden, se lesdenomina, “pares ordenados”.
•

PAR ORDENADO
Se denomina el par ordenado con el símbolo ( a , b ). Donde el primer elemento

del par se llama “primera componente” o “antecedente” y el segundo elemento del par se llama
“segunda componente” o “consecuente” llamándose a los elementos del par componentes.
Para establecer que el par (a,b), simbolizado así, es distinto del par (b,a); es decir,
(a,b) ≠ (b,a),debemos usar los conceptos de singlen ton y par definiendo en forma formalizada "par
ordenado" como sigue:

Departamento de Matemática, Estadística y Física
MAT 293

Definición:
( a , b ) = { { a } , { a , b }}
Luego par ordenado es una colección cuyas componentes son "un singlenton" y un "par".
Proposición:
Dos pares ordenados son iguales si y sólo si tienen respectivamente iguales suscomponentes.
Es decir:
(a,b)=(c,d) ⇔ (a=c ∧ b=d)
•

PRODUCTO CARTESIANO O PRODUCTO CRUZ
Sean ahora dos conjuntos A y B de un universo U, se nos hace necesario disponer de

un conjunto cuyos elementos sean todos los pares ordenados ( x , y ) tales que x∈A ∧ y∈B. A este
conjunto se le denominado " Producto Cartesiano " o " Producto Cruz " de los conjuntos A y B y se
denota por " A x B " (se lee A cruz B).Ejemplo:
Sea A = { 1 , 2 } y B = { 3 , 4 , 5 } y el universo U = N, entonces:
AxB={(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)}
mediante un diagrama se tendrá:

U
A
B

a

b

( a , bA )x B

Podemos definir formalmente el producto cartesiano o producto cruz, como sigue:
A x B = { ( x , y ) / ( x ∈ A ) ∧ ( y ∈ B ) } ; A , B conjuntos de U
Recíprocamente, de acuerdo a lo anterior se tendrá:
Departamento deMatemática, Estadística y Física
MAT 293

B x A = { ( y , x ) / ( y ∈ B ) ∧ ( x ∈ A ) } ; A , B conjuntos de U
Ejemplo:
Sea U = Z y los conjuntos
A = { 2 , -3 } , B = { 4 , 5 } , entonces
A x B = { ( 2 , 4 ) , ( 2 , 5 ) , ( -3 , 4 ) , ( -3 , 5 ) } y
B x A = { ( 4 , 2 ) , ( 4 , -3 ) , ( 5 , 2 ) , ( 5 , -3 ) }
Se observa que estos dos conjuntos son distintos

Gráficamente:

Z
(-3,5)
(2,5)
(-3,4)...