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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Primer Semestre 2015
TIEMPO: 150 MINUTOS

´
MAT 110E -Algebra
Pauta Examen
1. Determine, en forma polar,las soluciones de z 3 = i
Soluci´
on:
π

La ecuaci´on equivale a (reiθ )3 = ei 2 , cuyas soluciones son:
π

5π

9π

ei 6 , ei 6 y ei 6
2. Demuestre que:
1 − tan(α)
1 − cot(α)

2

= tan2 (α)

Soluci´on:
Observe que 1 − tan(α) =

sin(α) − cos(α)
cos(α) − sin(α)
y que 1 − cot(α) =
por lo
cos(α)
sin(α)

tanto tenemos que
1 − tan(α)
1 − cot

2

=

− sin(α)
cos(α)

2

= tan2 (α)

3. Determine todas lassoluciones de la ecuaci´on
cos(2x) = cos(4x)

Soluci´
on:
Observe que cos(4x) = cos2 (2x) − sin2 (2x) = 2 cos2 (2x) − 1 por lo que la ecuaci´on
propuesta equivale a
2 cos2 (2x) − cos(2x) − 1 = 0resolviendo esto obtenemos que las soluciones son x = kπ o x = ± 2π
+ 2kπ con k ∈ Z
3

4. Encuentre el polinomio p(x), con coeficientes reales, de menor grado, que tiene como
ra´ıces a 2 − i, −1 y tal quep(1) = 8
Soluci´
on:
Ovserve que p(x) = a(x + 1)(x − (2 − i))(x − (2 + i)) = a(x3 − 3x2 + x + 5), como
p(1) = 4a tenemos que a = 2 y por lo tanto el polinomio pedido es
p(x) = 2x3 − 6x2 + 2x + 10
5.Use sumatorias para calcular la suma de los impares entre 100 y 200.
Soluci´
on:
50

La suma pedida es

(2k + 99), calculando tenemos que la suma pedida es
k=1
50

k + 50 · 99 = 50 · (51 + 99)

2
k=16. Calcule

n

n
k

k=1

Soluci´
on:

n

Por el Teorema del Binomio tenemos que
k=0
n

k=1

n
k

= 2n −

n
k
n
0

= 2n , por lo tanto la suma pedida

= 2n − 1

7. Determine para qu´e valores de a ∈ Rel sistema tiene soluci´on u
´nica, en tal caso
encuentre la soluci´on.
x + y = 2a
3x + y = 1
x−y =a
Soluci´
on:
La matriz ampliada al sistema corresonde a


1 1 2a
3 1 1 
1 −1 a

y escalonandoobtenemos la matriz


a 1
−1
0 −2 1 − 6a
0 0 5a − 1
por lo tanto el sistema tiene soluci´on si y s´olo si a =
x = 1/3 y y = 1/10

1
5

y en tal caso la soluci´on es:

8. Determine para qu´e...