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Cónicas

Moisés Villena Muñoz

3
3.1
3.2
3.3
3.4

Circunferencia
Parábola
Elipse
Hiperbola

Objetivos.

Se persigue que el estudiante:
• Identifique, grafique y determine los
elementos de una cónica conociendo su
ecuación general.
• Dado elementos de una cónica encuentre su
ecuación.
• Resuelva problemas de aplicación empleando
teoría de cónicas

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Moisés Villena Muñoz

Las cónicas otambién llamadas secciones cónicas se presentan cuando
un doble cono se interseca con planos.

No estamos interesados en los lugares geométricos de \ ,
2
estudiaremos las curvas de intersección de estas superficies pero en \ . Se
obtendrán las ecuaciones de definiciones directamente en el plano cartesiano.
3

Descubriremos que la ecuación de una cónica, tiene la forma:
Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + Exy+ F = 0
Con A ≠ 0 ó B ≠ 0 ó ambos, y E = 0 .

3.1. Circunferencia
3.1.1. Definición.
Sea O un punto del plano y sea “ r ” un número real
positivo. Se define la circunferencia como el conjunto de
puntos P ( x, y ) tal que la distancia de P a O es igual a
“ r ”. Es decir:

Circunferencia = { P ( x, y ) / d ( P, O) = r}
Al punto “ O ” se le denomina centro de la circunferencia y a “ r ” se ledenomina radio de la circunferencia.

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3.1.2. Ecuación canónica de la circunferencia
Supongamos que O tiene coordenadas ( h, k )
y

P (x, y )

r

O(h, k )

x

La distancia entre los puntos P ( x, y ) de la circunferencia y el punto

C (h, k ) , la cual denotamos como “ r ”, está dada por r = ( x − h) 2 + ( y − k ) 2 ,
entonces, tenemos:

( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2Ecuación canónica de una
circunferencia. Para r 2 > 0 .

Un tipo especial de circunferencia es aquella que tiene por
ecuación:

x2 + y2 = r 2
Es decir, una circunferencia con centro O (0,0) , el origen:
y

y = x2 − r 2

O (0,0 )

x

r

y = − x2 − r 2

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Moisés Villena Muñoz

Despejando y , obtenemos las ecuaciones de las semicircunferencias
superior e inferior.
Ejemplo
Hallar laecuación canónica de la circunferencia que tiene centro el punto O ( 4, 2 )
y radio 3
SOLUCIÓN:
Reemplazando en ( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 tenemos:
( x − 4) 2 + ( y − 2) 2 = 32
( x − 4) 2 + ( y − 2) 2 = 9

La ecuación canónica pedida.

Ahora,

en

la
ecuación
canónica
del
ejemplo
anterior
( x − 4) + ( y − 2) = 3 , al elevar al cuadrado y reducir términos semejantes se
obtiene:
2

2

2

x 2 − 4 x + 16+ y 2 − 4 y + 4 = 9
x 2 + y 2 − 4 x − 4 y + 16 + 11 = 0
Se puede decir, entonces que la ecuación de una circunferencia tendrá
la forma:

x 2 + y 2 + C´x + D´ y + F´= 0
O también:

Ax 2 + Ay 2 + Cx + Dy + F = 0
Esta última ecuación es llamada
CIRCUNFERENCIA.

ECUACIÓN GENERAL DE UNA

Por tanto si nuestra intensión fuese dibujar la circunferencia o
descubrirle sus elementos (centro y radio) apartir de la ecuación general,
deberíamos llevar la ecuación a su forma canónica completando trinomios
cuadrados perfectos.

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Moisés Villena Muñoz

Ejemplo
Graficar la circunferencia que tiene por ecuación x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 12 = 0
Solución
La ecuación general dada, la transformamos a la ecuación canónica completando
cuadrados

(x

2

) (

)

− 4 x + 4 + y 2 + 6 y + 9 = 12 + 4 + 9

(x − 2) + ( y + 3) = 25
2

2

Tenemos una circunferencia de radio r = 5 y centro C (2,−3)

r =5
C (2,−3)

No toda ecuación de la forma
representará una circunferencia.

Ax 2 + Ay 2 + Cx + Dy + F = 0

Si en el proceso de llevarla a la forma canónica se obtiene r 2 = 0 , es
2
2
decir resulta ( x − h) + ( y − k ) = 0 , el lugar geométrico es el punto O ( h, k ) .
¿Por qué?
Si r 2 < 0 , la ecuación norepresenta lugar geométrico. ¿Por qué?
Ejemplo
Hallar la ecuación canónica de la circunferencia que contiene a los puntos (1, 2 ) ,

( 3, 0 ) y ( 3 +

3,3

)

Solución:
Si los puntos pertenecen a la circunferencia deben satisfacer su ecuación. En este caso
empleamos la ecuación general x 2 + y 2 + C´x + D´ y + F´= 0 .
Reemplazando las coordenadas de los puntos dados:

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