18potencias
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Publicado: 23 de abril de 2016
18. Potencias
Matem´aticas II, 2012-II
18. Potencias
Leyes de potenciaci´
on
La multiplicaci´on resulta como la repetici´on de la adici´on: 4 · 3 = 3 + 3 + 3 + 3.
La potenciaci´on resulta como la repetici´on de la multiplicaci´on: 34 = 3·3·3·3.
En la expresi´on
an
el n´
umero a es la base mientras n es el exponente. El resultado, es decir an
es la n-´esima potencia de a.
En lo que sigue veremosunas primeras leyes sencillos.
Multiplicaci´
on de potencias con la misma base
Si queremos multiplicar 34 con 32 obtenemos 36 ya que en la primera potencia
hay 4 factores 3 y en la segunda potencia hay 2, en total 6:
34 · 32 = (3 · 3 · 3 · 3) · (3 · 3)
= 3·3·3·3·3·3
= 36
La ley se resume de esta manera:
am · an = am+n .
Multiplicaci´
on de potencias con los mismos exponentes
Si queremosmultiplicar 23 con 53 obtenemos 103 ya que en la primer potencia
hay 3 factores 2 y en la segunda potencia hay 3 factores 5, as´ı que hay tres
factores 2 · 5 = 10:
23 · 53 = (2 · 2 · 2) · (5 · 5 · 5)
= (2 · 5) · (2 · 5) · (2 · 5)
= 103
La ley se resume de esta manera:
am · bm = (a · b)m .
18-1
Matem´aticas II, 2012-II
18. Potencias
Potenciaci´
on de potencias
Si queremos 53 a la cuarta potencia,obtenemos 4 factores 53 es decir 3 · 4
factores 5:
(53 )4 = (53 ) · (53 ) · (53 ) · (53 )
= (5 · 5 · 5) · (5 · 5 · 5) · (5 · 5 · 5) · (5 · 5 · 5)
= 512
La ley se resume de esta manera:
(am )n = am·n .
Divisi´
on de potencias con la misma base
Si queremos dividir 45 entre 42 obtenemos 43 ya que en la primera potencia
hay 5 factores 4 y en la segunda potencia hay 2. Por la simplificaci´on de
fraccionesquedan 3 factores:
4 · 4 · 4 · 4✁✁ · 4✁✁
45
=
42
4✁✁ · 4✁✁
=4·4·4
= 43
La ley se resume de esta manera:
am
= am−n .
n
a
Divisi´
on de potencias con los mismos exponentes
Si queremos dividir 103 entre 53 obtenemos 23 ya que en la primer potencia
hay 3 factores 10 y en la segunda potencia hay 3 factores 5, as´ı que hay tres
factores 10
= 2:
5
103
10 · 10 · 10
=
3
5
5·5·5
10
10
·
=
5
5
3
=2
La ley seresume de esta manera:
am
a
=
m
b
b
18-2
·
m
.
10
5
18. Potencias
Matem´aticas II, 2012-II
Exponentes negativos
Hasta ahora en todos los ejemplos hemos usado exponentes positivos y enteros. ¿Qu´e significado podr´ıa tener una expresi´on como 4−2 ? La respuesta
correcta es: la que queremos asignarle. El significado de 4−2 es una convenci´on, dado que no tiene sentido decir: “hay −2 factores4”.
Pero si exigimos que este las potencias con los exponentes negativo satisfacen
tambi´en las leyes de la potenciaci´on que hemos visto hasta ahora, entonces la
1
expresi´on 4−2 s´olo puede significar una cosa: 16
. El argumento es el siguiente:
4−2 = 43−5 =
43
4✁✁ · 4✁✁ · 4✁✁
1
1
=
=
= .
5
4
4 · 4 · 4✁✁ · 4✁ · 4✁ 4 · 4
16
En general podemos formular esta ley como sigue:
a−m =
1
.
amTambi´en la expresi´on 40 tiene una u
´ nica interpretaci´on: es el n´
umero 1:
40 = 42−2 =
En general formulamos:
4✁✁ · 4✁✁ 1
= = 1.
4✁✁ · 4✁✁ 1
a0 = 1.
Exponentes racionales
1
Con un argumento muy similar podemos interpretar una expresi´on como 3 2 .
La u
´ nica manera de hacerlo
√si queremos que las leyes de potenciaci´on siguen
1
2
siendo v´alido es que 3 = 3. El argumento es como sigue.
Sabemosque
1
1
3 = 31 = 3 2 ·2 = 3 2
2
.
El u
´ nico
umero (positivo) que elevado al cuadrado de 3 es
√ n´
1
3 2 = 3.
Por ello tiene sentido que convenimos la siguiente definici´on:
√
1
a n = n a.
M´as generalmente tenemos
m
an =
√
n
am =
18-3
√
n
a
m
.
√
3. De ah´ı que
Matem´aticas II, 2012-II
18. Potencias
En el Ejercicio 4 habr´a que demostrar que las siguientes leyes se pueden vercomo leyes de potencias:
√
√ √
n
n
a·b= na· b
(18.1)
√
n √
m
a = n·m a
(18.2)
√
n
a
a
n
(18.3)
= √
n
b
b
Advertencia
No hay m´as leyes generales para potencias. En particular, las potencias se
llevan mal con la suma. Es decir, en general las siguientes ecuaciones no son
identidades o dicho de otra manera: existen valores para las variables para
los cuales la ecuaci´on es falsa.
am + an = am+n...
Matem´aticas II, 2012-II
18. Potencias
Leyes de potenciaci´
on
La multiplicaci´on resulta como la repetici´on de la adici´on: 4 · 3 = 3 + 3 + 3 + 3.
La potenciaci´on resulta como la repetici´on de la multiplicaci´on: 34 = 3·3·3·3.
En la expresi´on
an
el n´
umero a es la base mientras n es el exponente. El resultado, es decir an
es la n-´esima potencia de a.
En lo que sigue veremosunas primeras leyes sencillos.
Multiplicaci´
on de potencias con la misma base
Si queremos multiplicar 34 con 32 obtenemos 36 ya que en la primera potencia
hay 4 factores 3 y en la segunda potencia hay 2, en total 6:
34 · 32 = (3 · 3 · 3 · 3) · (3 · 3)
= 3·3·3·3·3·3
= 36
La ley se resume de esta manera:
am · an = am+n .
Multiplicaci´
on de potencias con los mismos exponentes
Si queremosmultiplicar 23 con 53 obtenemos 103 ya que en la primer potencia
hay 3 factores 2 y en la segunda potencia hay 3 factores 5, as´ı que hay tres
factores 2 · 5 = 10:
23 · 53 = (2 · 2 · 2) · (5 · 5 · 5)
= (2 · 5) · (2 · 5) · (2 · 5)
= 103
La ley se resume de esta manera:
am · bm = (a · b)m .
18-1
Matem´aticas II, 2012-II
18. Potencias
Potenciaci´
on de potencias
Si queremos 53 a la cuarta potencia,obtenemos 4 factores 53 es decir 3 · 4
factores 5:
(53 )4 = (53 ) · (53 ) · (53 ) · (53 )
= (5 · 5 · 5) · (5 · 5 · 5) · (5 · 5 · 5) · (5 · 5 · 5)
= 512
La ley se resume de esta manera:
(am )n = am·n .
Divisi´
on de potencias con la misma base
Si queremos dividir 45 entre 42 obtenemos 43 ya que en la primera potencia
hay 5 factores 4 y en la segunda potencia hay 2. Por la simplificaci´on de
fraccionesquedan 3 factores:
4 · 4 · 4 · 4✁✁ · 4✁✁
45
=
42
4✁✁ · 4✁✁
=4·4·4
= 43
La ley se resume de esta manera:
am
= am−n .
n
a
Divisi´
on de potencias con los mismos exponentes
Si queremos dividir 103 entre 53 obtenemos 23 ya que en la primer potencia
hay 3 factores 10 y en la segunda potencia hay 3 factores 5, as´ı que hay tres
factores 10
= 2:
5
103
10 · 10 · 10
=
3
5
5·5·5
10
10
·
=
5
5
3
=2
La ley seresume de esta manera:
am
a
=
m
b
b
18-2
·
m
.
10
5
18. Potencias
Matem´aticas II, 2012-II
Exponentes negativos
Hasta ahora en todos los ejemplos hemos usado exponentes positivos y enteros. ¿Qu´e significado podr´ıa tener una expresi´on como 4−2 ? La respuesta
correcta es: la que queremos asignarle. El significado de 4−2 es una convenci´on, dado que no tiene sentido decir: “hay −2 factores4”.
Pero si exigimos que este las potencias con los exponentes negativo satisfacen
tambi´en las leyes de la potenciaci´on que hemos visto hasta ahora, entonces la
1
expresi´on 4−2 s´olo puede significar una cosa: 16
. El argumento es el siguiente:
4−2 = 43−5 =
43
4✁✁ · 4✁✁ · 4✁✁
1
1
=
=
= .
5
4
4 · 4 · 4✁✁ · 4✁ · 4✁ 4 · 4
16
En general podemos formular esta ley como sigue:
a−m =
1
.
amTambi´en la expresi´on 40 tiene una u
´ nica interpretaci´on: es el n´
umero 1:
40 = 42−2 =
En general formulamos:
4✁✁ · 4✁✁ 1
= = 1.
4✁✁ · 4✁✁ 1
a0 = 1.
Exponentes racionales
1
Con un argumento muy similar podemos interpretar una expresi´on como 3 2 .
La u
´ nica manera de hacerlo
√si queremos que las leyes de potenciaci´on siguen
1
2
siendo v´alido es que 3 = 3. El argumento es como sigue.
Sabemosque
1
1
3 = 31 = 3 2 ·2 = 3 2
2
.
El u
´ nico
umero (positivo) que elevado al cuadrado de 3 es
√ n´
1
3 2 = 3.
Por ello tiene sentido que convenimos la siguiente definici´on:
√
1
a n = n a.
M´as generalmente tenemos
m
an =
√
n
am =
18-3
√
n
a
m
.
√
3. De ah´ı que
Matem´aticas II, 2012-II
18. Potencias
En el Ejercicio 4 habr´a que demostrar que las siguientes leyes se pueden vercomo leyes de potencias:
√
√ √
n
n
a·b= na· b
(18.1)
√
n √
m
a = n·m a
(18.2)
√
n
a
a
n
(18.3)
= √
n
b
b
Advertencia
No hay m´as leyes generales para potencias. En particular, las potencias se
llevan mal con la suma. Es decir, en general las siguientes ecuaciones no son
identidades o dicho de otra manera: existen valores para las variables para
los cuales la ecuaci´on es falsa.
am + an = am+n...
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